'Ένας εβραίος Σαλονικιός στο Παρίσι"

 

Βαρών - Βασάρ, Οντέτ
'Ένας εβραίος Σαλονικιός στο Παρίσι"
Η μυθιστορηματική ζωή ενός «Ισραηλίτη της Ανατολής» που γεννήθηκε στη Θεσσαλονίκη και διέπρεψε ως έμπορος στη Γαλλία

Το λιμάνι της Θεσσαλονίκης σε φωτογραφία του 1916, χρονιά μετανάστευσης του Βιντάλ Ναχούμ στη Γαλλία

Εμπλουτισμένο με μια εισαγωγική μελέτη 70 σελίδων του επιμελητή Αλέξανδρου Δάγκα γύρω από τον στοχαστή Εντγκάρ Μορέν και τη διανοητική του πορεία, εκδόθηκε στα ελληνικά 22 χρόνια μετά την έκδοσή του στη Γαλλία το βιβλίο που ο Μορέν αφιέρωσε στον πατέρα του, Βιντάλ Ναχούμ. Και όμως, το βιβλίο αυτό, που άργησε να μεταφραστεί, ενώ έχουμε 20 περίπου βιβλία του συγγραφέα στην Ελλάδα (αυτόνομα και συλλογικά), αφορά άμεσα τη Θεσσαλονίκη, αφού εκεί γεννήθηκε και μεγάλωσε ο πατέρας του και αυτή σφράγισε την ταυτότητά του.

Είναι λοιπόν ευτυχές γεγονός ότι Ο Βιντάλ και οι δικοί του προστέθηκαν στη μακρά λίστα των έργων του Μορέν στα ελληνικά, προσδίδοντάς της μια εντελώς διαφορετική διάσταση: αυτή της προσωπικής ιστορίας ενταγμένης στη συλλογικότητα. Γιατί, μιλώντας για τον πατέρα και την ευρύτερη οικογένεια, μιλά πρώτη φορά και για τον εαυτό του, τα παιδικά και εφηβικά του χρόνια, το τραύμα της πρόωρης απώλειας της μητέρας του και φυσικά τη διαμόρφωση της ταυτότητάς του. Μικροϊστορία, λοιπόν, αλλά και προσωπική ιστορία (ego-histoire) διαπλέκονται με την κοινωνιολογική και ιστορική προσέγγιση που αφορά ευρύτερα σύνολα.

Το πλέον ενδιαφέρον όμως για τον αναγνώστη είναι ο τρόπος που αφηγείται τη διαδρομή ενός «Ισραηλίτη της Ανατολής», που γεννήθηκε το 1894 στη Θεσσαλονίκη και πέθανε 90 ετών, πλήρης ημερών, στο Παρίσι το 1984. Η πορεία αυτή, αντιπροσωπευτική πολλών χιλιάδων ανθρώπων, μας επιτρέπει να προσεγγίσουμε και να κατανοήσουμε καλύτερα αυτό το μεταναστευτικό ρεύμα των εβραίων της Θεσσαλονίκης προς τη Γαλλία κυρίως μετά την ένταξη της Θεσσαλονίκης στο ελληνικό κράτος (1912), αλλά και τη μεγάλη πυρκαγιά που έκανε στάχτη μεγάλο μέρος του παλιού κέντρου της πόλης (1917).

Συχνά, πρώτος σταθμός της διαδρομής ήταν η Μασσαλία, αφού το ταξίδι γινόταν με πλοίο. Στην περίπτωση του Βιντάλ, που έφθασε εκεί ως κρατούμενος λόγω μιας σκοτεινής ιστορίας, η άφιξη και η υποδοχή στη νέα χώρα, αργότερα πατρίδα, ήταν όντως μυθιστορηματικές.

Ο ίδιος ο πρωθυπουργός Αριστίντ Μπρυάν, χάρη σε διαμεσολάβηση του πατέρα μέσω κάποιων γνωριμιών θα παρέμβει ώστε να αναγνωριστεί ως ιθαγένεια του νεαρού Βιντάλ η καταγωγή από τη γενέθλια πόλη (Σαλονικιός επιμένει πως είναι κι όχι Ιταλός, Ελληνας ή Οθωμανός) και έτσι τελικά αφήνεται ελεύθερος.
Ιστορία που θα μπορούσε άνετα να είχε επινοήσει για τους ήρωές του ο Αλμπέρ Κοέν, ο κερκυραίος εβραίος που μετανάστευσε από παιδί στη Μασσαλία και με το λογοτεχνικό του έργο έδωσε φωνή στους εβραίους της Μεσογείου.

Η «καλπάζουσα γαλλομανία»
Στη Μασσαλία ο Βιντάλ μένει μόνο τρία χρόνια (1916-1919), είναι όμως χρόνια που θα τον σημαδέψουν, αφού η πόλη «δεν θα πάψει σε όλη του τη ζωή να φωνάζει μέσα του πολύ δυνατά». Το 1919 εγκαθίσταται οριστικώς στο Παρίσι, όπου θα ζήσει τα υπόλοιπα 65 χρόνια της πλούσιας σε εμπειρίες ζωής του. Με το σπίτι του στο 9ο διαμέρισμα του Παρισιού και το μαγαζί (δεύτερο σπίτι) στο Σαντιέ, ενταγμένος στον ισχυρό ιστό των Σεφαραδιτών της Θεσσαλονίκης, που έχουν ανοίξει τα εμπορικά τους καταστήματα σε αυτή τη γειτονιά, εγκλιματίζεται δίχως ιδιαίτερη δυσκολία.
Το εμπόριο είναι η δραστηριότητα πολλών μελών της οικογένειας και ο Βιντάλ αξιοποιεί αυτό το δίκτυο.
Τα γαλλικά είναι ούτως ή άλλως δεύτερη γλώσσα του, αφού έχει σπουδάσει σε γαλλογερμανικό σχολείο στη Θεσσαλονίκη και έτσι παίρνουν σιγά-σιγά τη θέση της μητρικής, των ισπανοεβραϊκών, για να συνυπάρξουν μαζί της, στο νέο μείγμα που ο γλωσσολόγος Χαΐμ Βιντάλ Σεφιχά ονόμασε «φρανιόλ» από τα γαλλικά και τα ισπανικά.
Η «καλπάζουσα γαλλομανία», όρος επίσης του Σεφιχά, είχε καταλάβει τους Σεφαραδίτες της Θεσσαλονίκης ήδη από τα τέλη του 19ου αιώνα, όταν οι γόνοι μεσαίων και ανώτερων στρωμάτων άρχισαν να σπουδάζουν στα σχολεία της Alliance Israélite Universelle ή της Mission Laïque Française και να ανακαλύπτουν, εκτός από μια νέα γλώσσα, και μια νέα κουλτούρα, που δημιουργούσε τη ρήξη με το ανατολίτικο παρελθόν και τους συνέδεε με τη Δύση.
Αυτή τη γνωστή από την Ιστορία πραγματικότητα έρχεται να ζωντανέψει το βιβλίο του Μορέν στην καθημερινότητά της: μέσα από περιγραφές και αφηγήσεις, μέσα από εδέσματα, τραγούδια, ενδύματα, συμπεριφορές, νοοτροπίες, ο κόσμος αυτός ανασυστήνεται και κυρίως ερμηνεύεται αριστοτεχνικά σε αυτό το βιβλίο. Το εύστοχο βλέμμα του συγγραφέα δεν παραμένει στη νοσταλγική αναπόληση, αλλά ερμηνεύει κριτικά αυτή την κοινωνική πραγματικότητα που παρουσιάζει.

Η κυρία Ο. Βαρών-Βασάρ είναι καθηγήτρια Ιστορίας στο Ελληνικό Ανοιχτό Πανεπιστήμιο.
Το βιβλίο της «Η ανάδυση μιας δύσκολης μνήμης. Κείμενα για τη γενοκτονία των Εβραίων» θα κυκλοφορήσει τον Οκτώβριο από τις Εκδόσεις της Εστίας.

Η γαστρονομία στον πυρήνα του πολιτισμού
Η πολιτισμική ταυτότητα των εξόριστων από την Ισπανία εβραίων θα διαφοροποιηθεί στο πέρασμα του χρόνου. Μέσα σε τεσσερισήμισι αιώνες πολλοί από αυτούς θα διανύσουν μια διαδρομή, αρχικώς προς Ανατολάς (από την Ισπανία προς την Οθωμανική Αυτοκρατορία) και έπειτα πάλι πίσω προς Δυσμάς (από Θεσσαλονίκη προς Γαλλία). Ετσι θα δομηθεί μια ιδιαίτερη πολιτισμική ταυτότητα της εβραϊκής διασποράς, απολύτως διακριτή από εκείνη των ασκενάζι εβραίων. Και στον πυρήνα της ταυτότητας αυτής, έπειτα από τόσες μεταλλαγές, σύμφωνα με τον Εντγκάρ Μορέν, δεν βρίσκεται πλέον η θρησκεία, αλλά η γαστρονομία. Γράφει: «Και όταν, στους Φράγκους, ο σεφαρδιτισμός διαλύθηκε, ο μητρικός πυρήνας της κουλτούρας του διατηρήθηκε. Ο πυρήνας αυτός σε κάθε κουλτούρα είναι γαστρονομικός και στον πυρήνα αυτού του πυρήνα βρίσκεται το παστελίκο» (είδος πίτας με τυρί, σπανάκι ή μελιτζάνα). Και μιλώντας για τον εαυτό του: «Αυτός ο Παριζιάνος αγαπά τη γαλλική κουζίνα, λατρεύει τα μικρά λουκάνικα και τα γλυκάδια του βοδινού. Αλλά προτιμά τη μεσογειακή κουζίνα με το ελαιόλαδο και αυτό που του αρέσει καλύτερα από κάθε τι άλλο είναι το γκρατέν από μελιτζάνες και το παστελίκο της Θεσσαλονίκης». Θυμίζοντάς μας έτσι πόσο πρωταρχικός είναι ο ρόλος των γυναικών στη διατήρηση και μεταβίβαση αυτής της εύθραυστης ταυτότητας της Διασποράς.

https://www.tovima.gr/2012/07/22/books-ideas/enas-ebraios-salonikios-sto-parisi/

το χάος και η θεωρία του

 

 

 

 

 

 

 

Η Θεωρία του Χάους και το Φαινόμενο της Πεταλούδας

Τι είναι το χάος και η θεωρία του χάους

Στον αιώνα που μας αποχαιρέτησε τρεις ήταν οι μεγάλες επιστημονικές επαναστάσεις: η σχετικότητα, η κβαντική μηχανική και η θεωρία του Χάους. Η πρώτη βρήκε τη σχέση του χώρου και του χρόνου, η δεύτερη την αρχή της αιτιότητας και η τρίτη διερευνά την έννοια της προβλεπτικότητας, πως από παρόμοιες αρχικές υποθέσεις μπορούν να προκύψουν πολύ διαφορετικά συμπεράσματα.

Η λέξη Χάος χρησιμοποιείται με διαφορετικό τρόπο, σε διαφορετικές περιπτώσεις, από διαφορετικούς ανθρώπους. Άλλη η έννοια του χάους στην θρησκεία ή στην αρχαία ελληνική φιλοσοφία ή στην σημερινή εποχή μας (χάος = διάλυση, σύγχυση, μπάχαλο, αταξία κλπ) ή ακόμη και στην αναπαράσταση του με διάφορα σύνολα τύπου Mandelbrot και άλλη η έννοια του χάους στην επιστήμη.

Στην επιστήμη το χάος ορίζεται σαν την εξαιρετικά ευαίσθητη εξάρτηση της κίνησης από τις αρχικές συνθήκες. Η απρόσμενη μεταβολή στις αρχικές συνθήκες είναι το στοιχείο του χάους - της αταξίας- που εκδηλώνεται σε μια τακτική και σταθερή φυσική διαδικασία. Δηλαδή αναλυτικότερα, χάος είναι η χαοτική κατάσταση που προκύπτει όταν μεταβληθούν έστω και κατ' ελάχιστο τα αρχικά δεδομένα ενός δυναμικού συστήματος. Αλλά στη νέα θέση που θα οδηγηθεί το σύστημα από έναν "ελκυστή", θα κατακαθίσει και θα παγιωθεί σε μια θέση που όμως πάλι η προβλεψιμότητα της θα είναι αδύνατον να εκφραστεί με νόμους αιώνιους ή ντερμινιστικά.

Έτσι όμως η λέξη χάος εκφράζει κάτι κοινό για όλους: Την αστάθεια και την αταξία. Τα παραδείγματα από την καθημερινή ζωή είναι πολλά. Ο καπνός του τσιγάρου που στροβιλίζεται σε πολύπλοκες και απρόβλεπτες δίνες. Η ροή του νερού που στάζει από μια βρύση. Το νερό των κυμάτων που σκάζουν πάνω σε μια ακτή. Το μελάνι που διαχέεται μέσα σε ένα ποτήρι νερού με απρόβλεπτο τρόπο. Στην αστρονομία μπορεί να έχουμε μια τυχαία μεταβολή κάποιας ιδιότητας (κλίση τροχιάς, εκκεντρότητα τροχιάς κάποιου πλανήτη κλπ). Στη βιολογία, στην κοινωνιολογία, στην οικονομία και τέλος στην ιατρική έχουμε παρόμοιες εκδηλώσεις χαοτικής συμπεριφοράς. Αλλά τα παραδείγματα δεν τελειώνουν εδώ. Το απρόβλεπτο των τιμών στο χρηματιστήριο, στα ηλεκτρικά κυκλώματα, στους χτύπους της καρδιάς, στην ροή του νερού ή του αίματος μέσα στους σωλήνες, στην μεταβολή των πληθυσμών στα πουλιά και στα φυτά είναι ορισμένοι τομείς στους οποίους συνυπάρχει το χάος.

Στην δεκαετία του 1970 οι επιστήμονες άρχισαν να προσεγγίζουν την έννοια της αταξίας. Οι μαθηματικοί, φυσικοί, φυσιολόγοι, βιολόγοι και χημικοί αναζητούσαν συνδέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά είδη μη κανονικότητας. Μετά τις πρώτες εκπλήξεις από την χαώδη συμπεριφορά πολλών μοντέλων οι μαθηματικοί του χάους ζητήσανε να καταλάβουν τις χαοτικές κινήσεις της καθημερινής ζωής. Τις αλλαγές του καιρού. Τις διακυμάνσεις στους πληθυσμούς των αγρίων ζώων. Την εξέλιξη των τιμών στο χρηματιστήριο. Αναπαριστούν τα ανεξέλεγκτα αυτά φαινόμενα με μη-γραμμικές εξισώσεις σε Η/Υ. Κι ανακαλύπτουν την κρυφή τάξη που τα ορίζει. Έτσι οι φυσιολόγοι βρήκαν μια εκπληκτική τάξη στο χάος που αναπτύσσεται στην ανθρώπινη καρδιά, την κύρια αιτία του απρόσμενου θανάτου. Οι οικολόγοι ερεύνησαν την εμφάνιση και εξαφάνιση νομαδικών πληθυσμών εντόμων. Οι οικονομολόγοι εξέταζαν τις τιμές κάποιων προϊόντων. Οι μετεωρολόγοι εξέταζαν το σχήμα των νεφών, τις διαδρομές των αστραπών στον αέρα. Και οι αστροφυσικοί πως ομαδοποιούνται τα άστρα σε γαλαξίες. Στην αστρονομία η συνειδητοποίηση της ύπαρξης του χάους στο Ηλιακό σύστημα, παρόλο που το θεωρούσαμε ένα δυναμικό σταθερό σύστημα-- προκαλεί ερωτήματα του κατά πόσο έπαιξε ρόλο το χάος στο σχηματισμό του Ηλιακού συστήματος.

Έτσι γρήγορα οι. επιστήμονες άρχισαν να μελετούν το χάος στην εφαρμοσμένη επιστήμη από την θεωρητική που μέχρι τότε έκαναν. Μπορεί όμως το χάος να χαρακτηρίζει τα μετεωρολογικά φαινόμενα, τα κοινωνικά, τα πολιτικά και τα βιολογικά δυναμικά συστήματα, αλλά από φιλοσοφικής πλευράς ζούμε σε μια όαση τάξης μέσα σ' ένα ωκεανό χάους: Από τη μια το χάος της απροσδιοριστίας στο μικρόκοσμο και από την άλλη η χαοτική δυναμική του μακρόκοσμου, με τους πλανήτες να κινούνται σε απρόβλεπτες τροχιές. Αίφνης η κίνηση των κυμάτων που σκάνε σε μια ακτή. Η κίνηση αυτή δημιουργεί ένα άγριο κουβάρι από τροχιές και περιδινήσεις, που περιέργως όμως δεν είναι εντελώς άτακτες. Καταλήγουν να 'χουν μια μορφή, μια υποτυπώδη γεωμετρική μορφή που οι μαθηματικοί του χάους ονομάζουν παράξενος ελκυστής (strange attractor). Ένα άλλο παράδειγμα είναι το παιχνίδι φλιπεράκι, όπου οι κινήσεις της μπάλας προσδιορίζονται ακριβώς από τους νόμους της κύλισης υπό την επίδραση της βαρύτητας και της ελαστικής κρούσης -και οι δύο πλήρως κατανοητοί-, αλλά το τελικό αποτέλεσμα είναι μη προβλέψιμο. Μέχρι τα τέλη του προ-περασμένου αιώνα, η εύρεση της τροχιάς κάθε ουράνιου σώματος γινόταν προσεγγιστικά, με τη βοήθεια των νόμων του Νεύτωνα και Κέπλερ, αφού δεν υπήρχαν Η/Υ για περισσότερη ακρίβεια. Οι κινήσεις των πλανητών και των άλλων ουρανίων σωμάτων θεωρούνταν περιοδικές και κανονικές σαν τη κίνηση ενός τέλειου εκκρεμούς.

Στα τέλη όμως του 19ου αιώνα, ο Γάλλος μαθηματικός και αστρονόμος Henri Poincare (1854 - 1912), έκανε μια ανακάλυψη που έμελλε να αλλάξει τα θεμέλια της Νευτώνιας μηχανικής, και να αποτελέσει έτσι τη γέννηση ενός νέου κλάδου της επιστήμης: του Χάους. Συγκεκριμένα ο Poincare διαπίστωσε πως το πρόβλημα των τριών σωμάτων (μελέτησε το πρόβλημα του Ήλιου, της Γης και της Σελήνης) ήταν και παραμένει άλυτο. Άρα, δεν μπορεί να προβλεφθεί η τροχιά οποιουδήποτε ουράνιου σώματος που δέχεται την επίδραση δύο η περισσοτέρων άλλων σωμάτων. Η προσπάθεια λοιπόν να υπολογιστεί η τροχιά πχ του Πλούτωνα, δεν είναι δυνατή, αφού δέχεται την επίδραση του Ήλιου και άλλων οκτώ πλανητών.

Ο Poincare αποκάλυψε το χάος στο Ηλιακό σύστημα καί μαζί ανακάλυψε την απρόβλεπτη εξέλιξη ενός μη γραμμικού συστήματος. Είχε κατανοήσει πως πολύ μικρές επιδράσεις μπορούν να μεγεθυνθούν μέσω της ανάδρασης. Γι' αυτό και διατύπωσε την άποψη "Μια ελάχιστη αιτία που διαφεύγει της προσοχής μπορεί να προκαλέσει ένα σημαντικό αποτέλεσμα". Η γέννηση του χάους και του απρόβλεπτου ήταν γεγονός. Αλλά χρειάστηκε να περάσουν 80 χρόνια από τότε για να συνειδητοποιήσουν οι αστρονόμοι και οι υπόλοιποι επιστήμονες τη σπουδαιότητα αυτής της ανακάλυψης.

Χαοτική κίνηση

Δεν υπάρχει γενικώς αποδεκτός ορισμός της χαοτικής κίνησης. Ο πιο διαδεδομένος είναι αυτός του Devaney, που διατυπώνεται ως εξής:

Για να χαρακτηριστεί η συμπεριφορά ενός συστήματος ως χαοτική, το σύστημα πρέπει να παρουσιάζει τις παρακάτω ιδιότητες:

1. πρέπει να παρουσιάζει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες

2. πρέπει να είναι τοπολογικά μεταβατικό

3. το σύνολο των περιοδικών του τροχιών πρέπει να είναι πυκνό

Ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες σημαίνει ότι δύο σημεία σε ένα τέτοιο σύστημα μπορούν να ακολουθήσουν ριζικά διαφορετικές τροχιές στον φασικό χώρο, ακόμα και αν η διαφορά στις αρχικές συνθήκες είναι εξαιρετικά μικρή. Τα συστήματα συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο μόνο όταν η αρχική διαμόρφωση είναι ακριβώς η ίδια. Ουσιαστικά, αυτό σημαίνει ότι χρειάζεται κανείς να προσδιορίσει τις αρχικές συνθήκες με απεριόριστη ακρίβεια, προκειμένου να προβλέψει πώς θα συμπεριφερθεί το σύστημα πέρα από έναν περιορισμένο "χρονικό ορίζοντα". Στην πράξη, βέβαια, μπορούμε να προσδιορίσουμε τις αρχικές συνθήκες με περιορισμένη μόνο ακρίβεια. Μεταβατικότητα σημαίνει ότι εάν επιφέρουμε μια μετατροπή σε κάποιο διάστημα Ι1, τότε το διάστημα εκτείνεται μέχρι να επικαλύψει οποιοδήποτε άλλο δεδομένο διάστημα Ι2.Η μεταβατικότητα, τα πυκνά περιοδικά σημεία και η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες μπορούν να επεκταθούν σε έναν αυθαίρετο μετρικό χώρο. Ο J. Banks και οι συνεργάτες του έδειξαν το 1992 ότι στα πλαίσια ενός γενικού μετρικού χώρου, η μεταβατικότητα και τα πυκνά περιοδικά σημεία υπονοούν την ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες.


Ο ελκυστής του Λόρεντζ

Ελκυστές

Ένας τρόπος να παρουσιάσουμε οπτικά την χαοτική κίνηση ή οποιαδήποτε άλλη κίνηση, είναι η κατασκευή ενός διαγράμματος φάσης της κίνησης. Σε ένα τέτοιο διάγραμμα υπεισέρχεται σιωπηρά ο χρόνος και σε κάθε άξονα αναπαρίσταται μια μεταβλητή της κατάστασης. Για παράδειγμα, θα μπορούσε κάποιος να αναπαραστήσει την θέση ενός εκκρεμούς σε σχέση με την ταχύτητά του. Ένα εκκρεμές σε ακινησία θα σχεδιαστεί ως ένα σημείο και ένα σε περιοδική κίνηση θα σχεδιαστεί ως απλή κλειστή καμπύλη. Όταν ένα τέτοιο σχέδιο σχηματίζει κλειστή καμπύλη, η καμπύλη λέγεται τροχιά. Το εκκρεμές μπορεί να παρουσιάσει άπειρες τέτοιες τροχιές. Συχνά τα διαγράμματα φάσης αποκαλύπτουν ότι η πλειοψηφία των τροχιών καταλήγουν να πλησιάζουν ένα κοινό όριο. Το σύστημα τελικά εκτελεί την ίδια κίνηση για όλες τις αρχικές καταστάσεις σε μια περιοχή γύρω από την κίνηση, σχεδόν σαν να έλκεται το σύστημα σε αυτή την κίνηση. Μια τέτοια ελκυστική κίνηση καλείται ελκυστής του συστήματος.


Έντουαρντ Λόρεντζ

Ο Λόρεντζ και το φαινόμενο της πεταλούδας

Ο Λόρεντζ ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για τον καιρό. Νεαρός ακόμη, στο δυτικό Χάρτφορντ του Κονέκτικατ, κρατούσε ημερολόγιο στο οποίο κατέγραφε τις καιρικές μεταβολές και τα μέγιστα και τα ελάχιστα της θερμοκρασίας. Παράλληλα τον συνάρπαζαν τα αινίγματα καί τα μαθηματικά. Τα μαθηματικά αινίγματα ήταν γι' αυτόν πρόκληση. Του άρεσε να ασχολείται με αυτά και αφιέρωνε πολύ χρόνο, με αποτέλεσμα να αποκτήσει εξαιρετικές ικανότητες, αποφάσισε λοιπόν να γίνει μαθηματικός. Αλλά πριν ακόμη καταφέρει να κάνει το όνειρό του πραγματικότητα, ξέσπασε ο Β' Παγκόσμιος Πόλεμος και ο Λόρεντζ κλήθηκε να υπηρετήσει στο στρατό. Στην Αεροπορία όπου τοποθετήθηκε, μπορεί να μη χρειάζονταν μαθηματικοί, υπήρχε όμως ανάγκη για μετεωρολόγους και έτσι ο Λόρεντζ άρχισε να ασχολείται με προβλήματα που σχετίζονταν με τον καιρό. Σύντομα διαπίστωσε ότι ο καιρός είναι ένα αίνιγμα όπως πολλά από τα μαθηματικά αινίγματα που είχε επεξεργαστεί, και μέσα σε λίγο διάστημα άρχισε να ενδιαφέρεται αποκλειστικά γι' αυτόν. Έτσι όταν απολύθηκε, γράφτηκε στο Κολέγιο Ντάρτμουθ (Dartmoyth College) απ' όπου πήρε πτυχίο στη μετεωρολογία.

Ωστόσο, βαθιά μέσα του παρέμενε μαθηματικός και λίγα χρόνια αργότερα, όταν βρισκόταν στο Μ.Ι.Τ. διέβλεψε μία ευκαιρία σύνδεσης των μαθηματικών με τη μετεωρολογία. Η πρόγνωση του καιρού αποτελούσε πρόβλημα: οι μετεωρολόγοι ήταν μεν σε θέση να κάνουν προβλέψεις για λίγες μόνο μέρες, αλλά δεν υπήρχε ελπίδα για μία μακροπρόθεσμη πρόγνωση. Υπήρχε κάποια αιτία γι' αυτό; Γιατί άραγε ήταν τόσο αδύνατη η πρόγνωση του καιρού; Ο μόνος τρόπος να δοθεί κάποια απάντηση ήταν να κατασκευαστεί ένα μαθηματικό μοντέλο του καιρού με εξισώσεις που θα αναπαριστούσαν μεταβολές στην θερμοκρασία, την πίεση, την ταχύτητα του ανέμου κ.ο.κ. Η πολυπλοκότητα όμως του καιρού έκανε ένα τέτοιο μοντέλο αδύνατο. Τελικά, ο Λόρεντζ επινόησε 12 εξισώσεις που περιείχαν μεγέθη όπως πίεση και θερμοκρασία και ήταν σε θέση να καταστρώσει ένα πρώτο, αδρό μοντέλο. Αλλά ακόμη και έτσι, οι απαραίτητοι υπολογισμοί ήταν πολύπλοκοι.

Εκείνη την εποχή είχαν κάνει την εμφάνισή τους οι πρώτοι ηλεκτρονικοί υπολογιστές. Στα 1960, οι υπολογιστές ήταν ακόμη άκομψα περίεργα μηχανήματα όπου αποτελούνταν από εκατοντάδες λυχνίες κενού που υπερθερμαίνονταν εύκολα, με αποτέλεσμα οι βλάβες να είναι συνηθισμένο φαινόμενο. Όταν όμως λειτουργούσαν ήταν πραγματικό θαύμα: εκτελούσαν εκατοντάδες υπολογισμούς το λεπτό. Ο υπολογιστής του Λόρεντζ ήταν ένας Royal McBee. Αν και αργός και χοντροκομμένος, ήταν γι' αυτόν αναντικατάστατος. Ο Λόρεντζ παρακολουθούσε ανυπόμονα τη μηχανή να παράγει συνεχώς αριθμούς που αναπαριστούσαν διάφορα χαρακτηριστικά του καιρού. Επρόκειτο για μία περίπλοκη μηχανή, που δημιουργούσε καιρικές συνθήκες μέρα με τη μέρα, συνθήκες που μεταβάλλονταν και που δεν φαίνεται ποτέ να επαναλαμβάνονταν.

Αλλά ο Λόρεντζ δεν ήταν ικανοποιημένος: δεν μάθαινε για την μακροπρόθεσμη πρόγνωση του καιρού όσα είχε ελπίσει, και έτσι απλοποίησε το σύνολο των εξισώσεών του, επικεντρώνοντας στα φαινόμενα μεταφοράς και στα μεταφορικά ρεύματα-ένα από τα χαρακτηριστικά του καιρού. Μεταφορικά ρεύματα υπάρχουν παντού γύρω μας. Ο θερμός αέρας ανεβαίνει, ενώ ο ψυχρός κατεβαίνει αυτό συμβαίνει κάθε μέρα στην ατμόσφαιρα και το αποτέλεσμα είναι η βροχή, το χιόνι ο άνεμος και άλλα. Κατά τον Λόρεντζ τα μεταφορικά ρεύματα ήταν κυκλικά. Ψυχρός αέρας κατέβαινε από την κορυφή της ατμόσφαιρας προς ένα σημείο του κύκλου, ενώ ο θερμός ανέβαινε από περιοχές κοντά στην επιφάνεια της Γης προς την άλλη πλευρά του κύκλου. Ο Λόρεντζ κατέληξε σε τρεις, φαινομενικά απλές, εξισώσεις που αναπαριστούσαν το φαινόμενο της μεταφοράς. Ο Λόρεντζ τις έβαλε στον υπολογιστή και έλαβε πάλι ένα πλήθος από αριθμούς που αναπαριστούσαν κάποια χαρακτηριστικά του καιρού. Έθεσε κατόπιν τα σημεία αυτά σε μία γραφική παράσταση και έτσι προέκυψε μία συνεχής γραμμή. Ο Λόρεντζ ήθελε να διαπιστώσει κατά πόσο μια μακροπρόθεσμη πρόγνωση ήταν δυνατή.

Εκείνη την εποχή μόλις είχαν αρχίσει να κατασκευάζονται γρήγοροι υπολογιστές με μεγάλη μνήμη και λίγα χρόνια νωρίτερα είχαν τεθεί σε τροχιά οι πρώτοι δορυφόροι. Μια νέα εποχή φαινόταν να ανατέλλει. Υπήρχε η δυνατότητα παγκόσμιας πρόγνωσης του καιρού, και με τη βοήθεια αρκετά μεγάλων υπολογιστών αναμενόταν πρόγνωση για διάστημα αρκετών μηνών, πράγμα που ήταν όνειρο πολλών ανθρώπων. Υπήρχε κάποιο εμπόδιο; Ο Λόρεντζ ήταν σίγουρος ότι το μοντέλο του θα έδινε κάποια απάντηση σε αυτό το ερώτημα και θα βοηθούσε στη διευκρίνιση των προβλημάτων που ίσως ανέκυπταν, δεν μπορούσε όμως να φανταστεί πόσο σημαντικό θα αποδεικνυόταν. Κάθε μέρα εξέταζε τα σχήματα που κατασκεύαζε ο υπολογιστής του και που έμοιαζαν να είναι τυχαία. Παρατηρώντας ένα από αυτά μια μέρα του 1961, αποφάσισε να το επαναλάβει. Εισήγαγε τα αριθμητικά αποτελέσματα στον υπολογιστή ως αρχικές συνθήκες, περιμένοντας ότι το αποτέλεσμα θα ήταν το ίδιο. Πράγματι, αρχικά (για λίγες μέρες) τα αποτελέσματα ήταν αρκετά όμοια, σύντομα όμως άρχισαν να αποκλίνουν και προς μεγάλη του έκπληξη μετά από λίγο οι δύο γραμμές απείχαν τόσο η μία από την άλλη, που δεν υπήρχε μεταξύ τους καμία ομοιότητα. Το αρχικό αποτέλεσμα όχι απλώς δεν είχε αναπαραχθεί, αλλά ούτε καν έμοιαζε με το καινούριο. Ο Λόρεντζ επανέλαβε την προσπάθεια χωρίς επιτυχία. Ίσως υπήρχε κάποιο μικρό λάθος στα αρχικά δεδομένα, σκέφτηκε, ίσως τα δεδομένα που είχαν εισαγάγει να ήταν ελαφρώς διαφορετικά από τα αρχικά. Όμως ακόμη και έτσι από την εποχή του Νεύτωνα ήταν γνωστό ότι τα μικρά σφάλματα είχαν μικρές επιπτώσεις. Στην περίπτωση αυτή, οι επιπτώσεις ήταν τεράστιες. Ουσιαστικά σε σύντομο χρονικό διάστημα, δεν υπήρχε η παραμικρή ομοιότητα με το αρχικό αποτέλεσμα. Ο Λόρεντζ αναρωτήθηκε πώς ήταν δυνατό να έχει προκύψει το σφάλμα. Συνειδητοποίησε λοιπόν ότι ενώ ο υπολογιστής εκτελούσε πράξεις χρησιμοποιώντας έξι σημαντικά ψηφία τύπωνε μόνο τα τρία (λ.χ., στον αριθμό 0,785432 τύπωνε 0,785). Ο Λόρεντζ έβαλε πάλι στον υπολογιστή τα τρία ψηφία εισάγοντας ένα σφάλμα λίγων χιλιοστών. Όμως, πώς ένα τόσο μικρό σφάλμα μπορούσε να έχει τέτοιες συνταρακτικές επιπτώσεις; Ο Λόρεντζ γνώριζε ότι βρισκόταν κοντά σε κάτι πολύ σημαντικό.

Η συνολική εικόνα που είχε επίσης πάρει στο χώρο των φάσεων ήταν μια έκπληξη: έμοιαζε με τα φτερά μιας πεταλούδας. Αφού σχεδίασε αρκετές χιλιάδες σημεία, προέκυψαν δύο λοβοί που έμοιαζαν με το αριστερό φτερό της πεταλούδας, και πέντε που έμοιαζαν με το δεξί. Σήμερα, η εικόνα αυτή είναι γνώστη ως το φαινόμενο της πεταλούδας. Ήταν εύκολο να διαπιστωθεί ότι ένα σημείο στο χώρο των φάσεων που κινιόταν γύρω από τους λοβούς δεν θα επαναλάμβανε ποτέ την κίνησή του: θα περιφερόταν ίσως γύρω από τον αριστερό λοβό και στη συνέχεια θα διέγραφε δύο φορές μια τροχιά γύρω από το δεξιό πριν επιστρέψει στον αριστερό. Ήταν αδύνατο όμως να προβλεφθεί σε ποια θέση το σημείο θα άρχιζε να διαγράφει τροχιά γύρω από το λοβό και ποιος λοβός θα ήταν αυτός. Η κίνησή του ήταν τυχαία ή χαοτική.

Μερικές φορές, το φαινόμενο της πεταλούδας παρερμηνεύεται στην κοινή αντίληψη. Για παράδειγμα, η ιδέα ότι κάτι τόσο ασήμαντο όσο μια πεταλούδα μπορεί να "προκαλέσει" έναν τυφώνα (ή να τον αποτρέψει) έχει θεωρηθεί από κάποιους ως επιχείρημα υπέρ της άποψης ότι ένα "ασήμαντο" άτομο, μια "περιθωριακή" ιδέα ή ένα φαινομενικά άσχετο γεγονός μπορούν να παίξουν έναν καθοριστικό ρόλο στην εξέλιξη της Ιστορίας. Ωστόσο, η ουσία της συμπεριφοράς ενός χαοτικού συστήματος είναι ότι, στην πράξη, είναι απρόβλεπτη σε "βάθος χρόνου". Συνεπώς, ενώ πράγματι ένα ασήμαντο γεγονός μπορεί να αλλάξει άρδην την πορεία της ιστορίας, δεν είμαστε σε θέση να ξέρουμε ποια θα ήταν η εξέλιξη του συστήματος χωρίς το γεγονός και άρα, δεν μπορούμε να σχεδιάσουμε τις ενέργειές μας ώστε να πετύχουμε ένα επιθυμητό σημαντικό αποτέλεσμα σε βάθος χρόνου - μπορούμε να προγραμματίζουμε αποτελεσματικά μόνο μέχρι τον χρονικό ορίζοντα που χαρακτηρίζει το σύστημα. Η γνώση ότι ένα ασήμαντο γεγονός οδήγησε σε κάτι "μεγάλο" μπορεί, μερικές φορές, να αποκτηθεί εκ των υστέρων, αν και συνήθως ακόμη κι αυτό είναι αδύνατον. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, η πεταλούδα δεν θα μπορούσε να "προκαλέσει" από μόνη της τον τυφώνα, παρά μόνο χάρη στις ατμοσφαιρικές συνθήκες που συνυπήρχαν με την επέμβασή της. Η άμεση αιτία ενός τυφώνα είναι αναγκαστικά "μεγάλη", κάτι που κάνει την βραχυπρόθεσμη μετεωρολογική πρόβλεψη δυνατή. Αν η πεταλούδα κινήσει τα φτερά της την "λάθος" στιγμή, είναι εξίσου πιθανό να αποτρέψει έναν τυφώνα που αλλιώς θα συνέβαινε (ή να οδηγήσει σε κάτι τελείως διαφορετικό). Για να "προκαλέσει" έναν τυφώνα, πρέπει να δράσει σε μια ακριβώς υπολογισμένη στιγμή - κάτι που ακριβώς είναι αδύνατον να προβλεφθεί.

Αναφορές:
[1] el.wikipedia.org/wiki/θεωρία_του_χάους
[2] physics4ugr/chaos/chaos3.html
[3] entercity.gr/countent/view/2579/224/
[4] ISBN 960-7990-04-8 Εκδοτικός οίκος Π. ΤΡΑΥΛΟΣ. Συγγραφέας BARRY PARKER. Τίτλος Χάος και αστρονομία.

Πηγή: Αθανασία Πορταρίτη Μαρία Παντελή, Ιστιαία 2011, gym-istiaias.eyv.sch.gr

Chaos Theory and the Butterfly Effect What is chaos and chaos theory In the last century there were three great scientific revolutions: relativity, quantum mechanics and Chaos theory. The first found the relationship between space and time, the second the principle of causality and the third explores the concept of predictability, how from similar initial assumptions very different conclusions can be derived. The word Chaos is used in different ways, in different situations, by different people. Another concept of chaos in religion or in ancient Greek philosophy or in our current era (chaos = dissolution, confusion, mess, disorder etc) or even in its representation with various Mandelbrot-type sets and another concept of chaos in science. In science, chaos is defined as the highly sensitive dependence of motion on initial conditions. Unexpected change in initial conditions is the element of chaos - disorder - that manifests itself in an orderly and stable natural process. That is, more precisely, chaos is the chaotic situation that results when the initial data of a dynamic system change even minimally. But in the new position in which the system will be driven by an "attractor", it will settle down and consolidate in a position whose predictability will again be impossible to express with eternal or deterministic laws. However, the word chaos expresses something common to all: instability and disorder. There are many examples from everyday life. Cigarette smoke swirling in complex and unpredictable vortices. The flow of water dripping from a faucet. The water of the waves crashing on a shore. The ink that spills into a glass of water in an unpredictable way. In astronomy we can have a random change of some property (orbital inclination, eccentricity of a planet's orbit, etc.). In biology, in sociology, in economics and finally in medicine we have similar manifestations of chaotic behavior. But the examples do not end here. The unpredictability of stock market prices, electrical circuits, the beating of the heart, the flow of water or blood through pipes, the changing populations of birds and plants are some areas in which chaos coexists. In the 1970s scientists began to approach the concept of disorder. Mathematicians, physicists, physiologists, biologists and chemists looked for connections between different kinds of irregularity. After the first surprises from the chaotic behavior of many models chaos mathematicians sought to understand the chaotic movements of everyday life. The weather changes. Fluctuations in wild animal populations. The evolution of prices on the stock market. They represent these uncontrolled phenomena with non-linear equations on a PC. And they discover the hidden order that defines them. Thus physiologists have found a surprising order in the chaos that develops in the human heart, the main cause of sudden death. Ecologists have investigated the appearance and disappearance of nomadic insect populations. Economists were looking at the prices of some products. Meteorologists studied the shape of the clouds, the paths of lightning in the air. And astrophysicists how stars are grouped into galaxies. In astronomy the realization of the existence of chaos in the solar system, even though we thought of it as a dynamic stable system--raises questions of whether chaos played a role in the formation of the solar system. So quickly the. scientists began to study chaos in applied science from the theory they had been doing until then. But chaos may characterize meteorological phenomena, social, political and biological dynamic systems, but from a philosophical point of view we live in an oasis of order in an ocean of chaos: On the one hand the chaos of indeterminacy in the microcosm and on the other the chaotic dynamics of the macrocosm, with planets moving in unpredictable orbits. Sudden motion of waves crashing on a shore. This movement creates a wild tangle of trajectories and spins, which, strangely enough, are not completely mischievous. They end up having a shape, a rudimentary geometric shape that chaos mathematicians call a strange attractor. Another example is the game of pinball, where the movements of the ball are precisely determined by the laws of rolling under the influence of gravity and elastic impact - both fully understood - but the end result is unpredictable. Until the end of the pre-last century, finding the orbit of each celestial body was done roughly, with the help of Newton's and Kepler's laws, since there were no computers for more precision. The motions of the planets and other heavenly bodies were considered periodic and regular like the motion of a tel iow pendulum. But at the end of the 19th century, the French mathematician and astronomer Henri Poincare (1854 - 1912), made a discovery that was to change the foundations of Newtonian mechanics, and thus constitute the birth of a new branch of science: Chaos. Specifically, Poincare found that the problem of the three bodies (he studied the problem of the Sun, the Earth and the Moon) was and remains unsolved. So, the orbit of any celestial body that receives the influence of two or more other bodies cannot be predicted. Therefore, the attempt to calculate the orbit of Pluto, for example, is not possible, since it receives the influence of the Sun and other eight planets. Poincare revealed the chaos in the Solar system and together he discovered the unpredictable evolution of a non-linear system. He understood that very small effects can be magnified through feedback. That is why he formulated the opinion "A small cause that escapes notice can produce a significant effect". The birth of chaos and unpredictability was a fact. But it took 80 years since then for astronomers and other scientists to realize the importance of this discovery. Chaotic movement There is no generally accepted definition of chaotic motion. The most widespread is that of Devaney, which is formulated as follows: To characterize the behavior of a system as chaotic, the system must exhibit the following properties: 1. must exhibit a sensitive dependence on the initial conditions 2. it must be topologically transitive 3. the set of periodic orbits must be dense Sensitivity to initial conditions means that two points in such a system can follow radically different trajectories in phase space, even if the difference in initial conditions is extremely small. Systems behave the same way only when the initial configuration is exactly the same. Essentially, this means that one needs to specify the initial conditions with infinite precision in order to predict how the system will behave beyond a limited "time horizon". In practice, of course, we can determine the initial conditions with only limited precision. Transitivity means that if we introduce a transformation on some interval I1, then the interval extends until it overlaps any other given interval I2. Transitivity, dense periodic points, and sensitivity to initial conditions can be extended to an arbitrary metric space. J. Banks and colleagues showed in 1992 that in the context of a general metric space, transitivity and dense periodic points imply sensitivity to initial conditions. The Lorentz attractor Attractive One way to visually represent chaotic motion, or any motion, is to construct a phase diagram of the motion. In such a diagram time is implicitly entered and a state variable is represented on each axis. For example, one could represent the position of a pendulum in relation to its velocity. A pendulum at rest will be drawn as a point and one in periodic motion will be drawn as a simple closed curve. When such a pattern forms a closed curve, the curve is called a trajectory. The pendulum can exhibit infinite such trajectories. Often phase diagrams reveal that the majority of trajectories end up approaching a common boundary. The system eventually performs the same motion for all initial states in a region around the motion, almost as if the system is attracted to that motion. Such an attractive motion is called an attractor of the system. Edward Lorenz Lorenz and the butterfly effect Lorenz was particularly interested in the weather. As a young man in West Hartford, Connecticut, he kept a diary in which he recorded weather changes and highs and lows. At the same time, he was fascinated by riddles and mathematics. Mathematical puzzles were a challenge for him. He liked to deal with them and spent a lot of time, as a result he acquired excellent abilities, so he decided to become a mathematician. But before he could even realize his dream, World War II broke out and Lorenz was drafted into the army. The Air Force, where he was stationed, may not have needed mathematicians, but there was a need for meteorologists, and so Lorentz began working on problems related to weather. He soon found the weather to be an enigma like many of the mathematical puzzles he had worked out, and within a short time he became exclusively interested in it. So when he was fired, he enrolled at Dartmoyth College where he earned a degree in meteorology. However, deep down he remained a mathematician and little years later, when he was at M.I.T. he saw an opportunity to connect mathematics with meteorology. Weather forecasting was a problem: meteorologists were only able to make predictions for a few days, but there was no hope of a long-term forecast. Was there a reason for this? Why was weather forecasting so impossible? The only way to give an answer was to construct a mathematical model of the weather with equations that would represent changes in temperature, pressure, wind speed, and so on. But the complexity of the weather made such a model impossible. Eventually, Lorenz devised 12 equations containing quantities such as pressure and temperature and was able to construct a first, rough model. But even so, the necessary calculations were complex. At that time, the first electronic computers had appeared. In the 1960s, computers were still inelegant oddities consisting of hundreds of vacuum tubes that overheated easily, making failures commonplace. But when they worked it was a real miracle: they performed hundreds of calculations per minute. Lorenz's computer was a Royal McBee. Although slow and coarse, he was irreplaceable to him. Lorenz watched impatiently as the machine continuously produced numbers representing various weather features. It was a complicated machine, creating weather conditions day after day, conditions that changed and never seemed to repeat themselves. But Lorenz was not satisfied: he was not learning as much about long-term weather forecasting as he had hoped, so he simplified his set of equations, focusing on convection and convection currents—one of the characteristics of weather. Transport currents are all around us. Warm air rises, while cold air descends, this happens every day in the atmosphere and the result is rain, snow, wind and more. According to Lorenz, transport currents were circular. Cold air descended from the top of the atmosphere toward one point of the circle, while warm air rose from areas near the Earth's surface toward the other side of the circle. Lorenz came up with three seemingly simple equations that represented the phenomenon of convection. Lorenz put them into the computer and got back a bunch of numbers that represented some characteristic of the weather. He then plotted these points on a graph and thus a continuous line emerged. Lorenz wanted to see if a long-term prognosis was possible. At that time, fast computers with large memory had just begun to be built, and a few years earlier the first satellites had been put into orbit. A new era seemed to be dawning. There was the possibility of global weather forecasting, and with the help of large enough computers a forecast could be expected for several months, which was a dream of many people. Was there an obstacle? Lorenz was sure that his model would provide some answer to this question and help clarify the problems that might arise, but he could not imagine how important it would prove to be. Every day he examined the seemingly random shapes his computer produced. Noticing one of them one day in 1961, he decided to repeat it. He entered the numerical results into the computer as initial conditions, expecting the result to be the same. Indeed, at first (for a few days) the results were quite similar, but soon they began to diverge, and to his great surprise after a while the two lines were so far apart that there was no similarity between them. The original result was not only not reproduced, but it didn't even look like the new one. Lorenz tried again without success. Maybe there was some small mistake in the original data, he thought, maybe the data they had entered was slightly different from the original. But even so it was known from Newton's time that small errors had small effects. In this case, the implications were huge. In essentially a short time, there was not the slightest resemblance to the original result. Lorenz wondered how the error could have occurred. So he realized that while the computer was performing operations using six significant digits it was printing only three (eg, in the number 0.785432 it was printing 0.785). Lorenz reentered the three digits into the computer, introducing an error of a few millimeters. But how could such a small error have such devastating effects? Lorenz knew he was close to something very important. The overall picture he had also taken in the phase space was a surprise: it looked like the wings of a butterfly. Fr After drawing several thousand points, two lobes emerged that resembled the left wing of the butterfly, and five that resembled the right wing. Today, this image is known as the butterfly effect. It was easy to see that a point in phase space moving around the lobes would never repeat its motion: it would perhaps orbit the left lobe and then sweep twice around the right before returning to the left . But it was impossible to predict at what point the point would begin to orbit the lobe and which lobe it would be. His movement was random or chaotic. Sometimes, the butterfly phenomenon is misinterpreted in the common perception. For example, the idea that something as insignificant as a butterfly can "cause" a hurricane (or prevent it) has been seen by some as an argument in favor of the view that an "insignificant" person, a "fringe" idea, or a seemingly irrelevant fact they can play a decisive role in the development of History. However, the essence of the behavior of a chaotic system is that, in practice, it is unpredictable in "time depth". Therefore, while indeed an insignificant event can drastically change the course of history, we are not in a position to know what the evolution of the system would have been without the event, and thus, we cannot plan our actions to achieve a desired significant outcome in time depth - we can only program effectively up to the time horizon that characterizes the system. The knowledge that an insignificant event led to something "big" can sometimes be acquired after the fact, though usually even this is impossible. In this particular example, the butterfly could not have "caused" the hurricane by itself, except thanks to the atmospheric conditions that coexisted with its intervention. The immediate cause of a hurricane is necessarily "big," which makes short-term weather forecasting possible. If the butterfly moves its wings at the "wrong" moment, it is just as likely to prevent a hurricane that would otherwise occur (or lead to something completely different). To "cause" a hurricane, it must act at a precisely calculated moment - something that is precisely impossible to predict. References: [1] el.wikipedia.org/wiki/chaos_theory [2] physics4ugr/chaos/chaos3.html [3] entercity.gr/countent/view/2579/224/ [4] ISBN 960-7990-04-8 Publishing house P. TRAVLOS. Author BARRY PARKER. Title Chaos and astronomy. Source: Athanasia Portariti Maria Panteli, Istiaia 2011, gym-istiaias.eyv.sch.gr

Σοκομπανάνα

 

Σοκομπανάνα
Τι χρειαζόμαστε:

1 μπανάνα
1 αναψυκτικό 500ml
1 κρέμα γιώτης
150 γρ. κουβερτούρας
2 κ.γ. ζαχαρη αχνη
1 πακέτο μπισκότα μιράντα
2 φλυτζάνια γάλα εβαπορε

φτιάχνει 6 ποτήρια

Πως το κάνουμε:

Διαβάστε περισότερο: Σοκομπανάνα

Sokobanane Ce dont nous avons besoin: 1 banane 1 boisson gazeuse 500ml 1 pot de crème 150 gr. couverture 2 cuillères à soupe sucre en poudre 1 paquet de biscuits Miranda 2 tasses de lait évaporé fait 6 verres Comment faisons-nous ça: Lire la suite : Σοκομπανάνα

Sokobanana What we need: 1 banana 1 soft drink 500ml 1 jot cream 150 gr. blanket 2 tbsp powdered sugar 1 package of Miranda cookies 2 cups evaporated milk makes 6 glasses How do we do it: Read more: Σοκομπανάνα

 Sokobanana Cad is gá dúinn: 1 banana 1 deoch bhog 500ml 1 uachtar jot 150 gr. blaincéad 2 tbsp siúcra púdraithe 1 pacáiste de fianáin Miranda 2 chupán bainne galaithe déanann 6 spéaclaí Conas a dhéanaimid é: Léigh níos mó: Σοκομπανάνα

 

Ι Π Π Ο Φ Α Ε Σ (Η Καλλιέργεια)

 

Ι Π Π Ο Φ Α Ε Σ (Η Καλλιέργεια)

Το ιπποφαές (Hippophae rhamnoides) είναι ένα φυτικό είδος που προέρχεται από την Ευρώπη και την Ασία και στην αρχαία Ελλάδα ήταν γνωστές οι θρεπτικές και φαρμακευτικές του ιδιότητες. Η παράδοση αναφέρει ότι οι στρατιώτες του Μ. Αλεξάνδρου αποκτούσαν μεγάλη αντοχή στις κακουχίες τρώγοντας τους καρπούς του, ενώ τα φύλλα και τους νεαρούς βλαστούς του τους έδιναν ως ζωοτροφή μαζί με το σανό των αλόγων για να αποκτήσουν ευρωστία , αλλά και γρήγορη ανάπτυξη δίδοντας ταυτόχρονα λαμπερό χρώμα στο τρίχωμά τους, Εξάλλου, το όνομα ιπποφαές προέρχεται από τις ελληνικές λέξεις ίππος και φαός δηλαδή, λαμπρός.

Η αυξημένη περιεκτικότητα σε πολύτιμες για τον οργανισμό ουσίες δικαιολογούν τις παραπάνω χρήσεις του ιπποφαούς καθώς και το ότι το φυτό αυτό τοποθετείται στην πρώτη δεκάδα των πιο ισχυρών θεραπευτικών φυτών στον κόσμο. Πιο συγκεκριμένα, το ιπποφαές περιέχει φυτοστερόλες, τοκοφερόλες, φλαβονοειδή και καροτίνια , ουσίες που προλαμβάνουν τις καρδιακές παθήσεις και γενικότερα προστατεύουν τον οργανισμό από διάφορες άλλες ασθένειες. Η περιεκτικότητά του σε βιταμίνη C είναι 30 φορές μεγαλύτερη από αυτή του πορτοκαλιού και 5 φορές μεγαλύτερη από αυτή του ακτινιδίου. Η περιεκτικότητά του σε βιταμίνη Ε είναι πιο μεγάλη από εκείνη του σίτου και του αραβόσιτου, καθώς και αυτή της βιταμίνης Α είναι μεγαλύτερη από αυτή του καρότου και του κράταιγου. Τα πολυακόρεστα οξέα ω-3, ω-6 αποτελούν το μεγαλύτερο ποσοστό της περιεκτικότητας των ελαίων των σπόρων και φθάνουν μέχρι 75%. Οι διάφορες χημικές ουσίες του έχουν ακόμη ισχυρή αντιοξειδωτική, αντιφλεγμονώδη, αντιμικροβιακή, αναλγητική και επουλωτική δράση.
Εξαιτίας αυτών των ιδιοτήτων του ιπποφαούς δημιουργήθηκε σε παγκόσμιο επίπεδο εξαιρετικό ενδιαφέρον για το φυτό αυτό, με αποτέλεσμα να δημοσιοποιηθούν ερευνητικές εργασίες συμβάλλοντας στην ανάπτυξη της καλλιέργειάς του. Οι χώρες στις οποίες καλλιεργείται, αλλά και το συναντάμε ως αυτοφυές είναι η Κίνα, η Μογγολία, η Ινδία, το Νεπάλ, το Πακιστάν, η Ρωσία, η Ουκρανία, η Αγγλία, η Γαλλία, η Δανία, η Ολλανδία, η Γερμανία, η Πολωνία, η Φιλανδία, η Σουηδία, η Βουλγαρία, η Νορβηγία, κλπ. Από εδαφοκλιματική άποψη το ιπποφαές μπορεί να καλλιεργηθεί μέχρι υψόμετρο 3900 m , είναι ανεκτικό στην ξηρασία αλλά και ακόμη και στα πλημμυρισμένα εδάφη, ενώ μπορεί να αναπτυχθεί και σε εδάφη με υψηλές συγκεντρώσεις χλωριούχου νατρίου.
Η οικολογία του αυτή του επιτρέπει να καλλιεργηθεί σε εγκαταλελειμμένα γεωργικά εδάφη, ακαλλιέργητες εκτάσεις, αμμώδεις παραθαλάσσιες εκτάσεις, πυρόπληκτα εδάφη ή και σε βραχώδη νησιά. Επίσης, είναι γνωστό σαν φυτό που προστατεύει το έδαφος από την διάβρωση των εδαφών εξαιτίας του πυκνού επιφανειακού ριζικού συστήματος που αναπτύσσει, ενώ παράλληλα χωρίς να είναι ψυχανθές οι ρίζες του συμβιώνουν με μικροοργανισμούς που δεσμεύουν το άζωτο από την ατμόσφαιρα και το αποδίδουν στο έδαφος.
Γενικά, το ιπποφαές είναι είδος που προσαρμόζεται πολύ καλά στις αντιξοότητες του περιβάλλοντος. Ακόμη και σε ακραία εδάφη, όπως τα χαλικώδη εδάφη ή τα αμμώδη που είναι φτωχά σε θρεπτικές ουσίες, το ιπποφαές μπορεί να αναπτυχθεί. Ωστόσο, η συστηματοποίηση και η ανάπτυξη της καλλιέργειας του ιπποφαούς απαιτεί έλεγχο των παραμέτρων που αφορούν την απόδοση και την ποιότητα. Αναλυτικότερα, η προετοιμασία του εδάφους, η γονιμότητα του εδάφους, οι αποστάσεις των φυτών, το κλάδευμα, η άρδευση και η καταπολέμηση των εχθρών και ασθενειών όπως και των ζιζανίων αποτελούν παράγοντες που είναι μεγάλης σημασίας για την εγκατάσταση και ανάπτυξη μιας νέας καλλιέργειας.

Kαλλιέργεια του ιπποφαούς
Προετοιμασία του εδάφους πριν από τη φύτευση. Πριν από τη φύτευση των δενδρυλλίων εφαρμόζεται ηλιοαπολύμανση. Στη συνέχεια, στην περίπτωση που το έδαφος είναι αμμώδες αρκεί η ελαφριά κατεργασία του εδάφους με καλλιεργητή και η προσθήκη χωνεμένης κοπριάς. Στην περίπτωση εδαφών με μέση ή βαριά σύνθεση επιβάλλεται να πραγματοποιηθεί μία βαθιά άροση και έπειτα κατεργασία με δισκάροτρο. Αν υπάρχει πρόβλημα κακής στράγγισης απαιτείται η βαθιά κατεργασία με υπεδαφοκαλλιεργητή ώστε να διασπάται το αδιαπέραστο έδαφος. Για την καταπολέμηση των ζιζανίων συνιστάται η εδαφοκάλυψη με πλαστικό στις γραμμές φύτευσης. Η οξύτητα και η αλκαλικότητα του εδάφους δεν αποτελούν περιοριστικούς παράγοντες της καλλιέργειας του ιπποφαούς, όμως το φυτό αυτό προτιμά pH εδάφους που να κυμαίνεται μεταξύ 5,5 -7.
Γονιμότητα του εδάφους και λίπανση - άρδευση. Γενικότερα το ιπποφαές σε γόνιμα εδάφη δεν χρειάζεται λίπανση. Διάφορες ερευνητικές εργασίες και πειράματα όμως έδειξαν θετική αντίδραση του φυτού σε προσθήκη ιχνοστοιχείων και γενικότερα λιπασμάτων. Από την άλλη μεριά, η αζωτούχος λίπανση μπορεί να αποτελέσει και αρνητική παράμετρος για την ανάπτυξη του φυτού. Η διεθνής βιβλιογραφία δεν περιλαμβάνει πολλές πληροφορίες για πιθανές πενίες θρεπτικών ουσιών και την επίδραση που έχουν επάνω στην ανάπτυξη του ιπποφαούς. Αυτό που είναι σημαντικό να αναφερθεί είναι ότι ο κάθε ενδιαφερόμενος παραγωγός οφείλει να κάνει την απαραίτητη ανάλυση του εδάφους για την αξιολόγηση των αναγκών σε λιπάσματα και ασβέστιο. Η άρδευση απαιτείται μόνο σε περιοχές που το ετήσιο ύψος των βροχοπτώσεων της περιοχής που θα εγκατασταθεί η καλλιέργεια είναι μικρότερο των 400 mm. Σε περιοχές που οι βροχοπτώσεις κυμαίνονται μεταξύ 400 mm και 800mm το χρόνο, δεν απαιτείται άρδευση για την ανάπτυξη της καλλιέργειας, ωστόσο η άρδευση θα είναι καθοριστικός παράγοντας εξασφάλισης υψηλής παραγωγής και εκλεκτής ποιότητας καρπών. Αν τελικά ο παραγωγός αποφασίσει να εγκαταστήσει δίκτυο άρδευσης οι δύο μέθοδοι που συνιστώνται είναι η εναέρια άρδευση και η στάγδην άρδευση.
Φύτευση των δενδρυλλίων και εγκατάσταση της καλλιέργειας. Η επιλογή της κατάλληλης για τις εδαφοκλιματικές συνθήκες που επικρατούν στην περιοχή εγκατάστασης της καλλιέργειας ποικιλίας είναι μία πρακτική που επιτρέπει στον παραγωγό να μεγιστοποιήσει τα τις αποδόσεις και να βελτιστοποιήσει την ανάπτυξη της καλλιέργειας . Κατά την τοποθέτηση των φυτών στους λάκκους θα πρέπει να προβλεφθεί να έχουν ένα βάθος λίγο πιο μεγάλο από εκείνο που βρίσκονταν τα φυτά στο φυτώριο ή στις γλάστρες. Καλό είναι η φύτευση να πραγματοποιείται με δροσερό καιρό, ενώ ο αγρός πρέπει να ποτίζεται αμέσως μετά τη φύτευση. Το ιπποφαές είναι φυτό δίοικο, οπότε κατά τη φύτευση των δένδρων θα πρέπει κανείς να προβλέψει την τοποθέτηση και φυτών με αρσενικά άνθη σε μία ορισμένη κατανομή και αναλογία. Βέβαια τα παραπάνω ισχύουν όταν τα δενδρύλλια προέρχονται από αγενή αναπαραγωγή και είναι γνωστό το φύλο. Οι αποστάσεις φύτευσης επιλέγονται ανάμεσα στην πυκνή φύτευση που μας επιτρέπει υψηλή παραγωγή και σε πιο αραιή φύτευση που θα μας επιτρέπει εκμηχάνιση των καλλιεργητικών εργασιών. Οι αποστάσεις που συνιστώνται είναι 1 – 1,5 m επί της γραμμής φύτευσης και 4 – 5 m μεταξύ των γραμμών.
Το κλάδευμα. Στο ιπποφαές διακρίνονται δύο είδη κλαδεύματος, το κλάδευμα σχηματισμού και το κλάδευμα καρποφορίας. Με το πρώτο επιτυγχάνεται η δημιουργία του κατάλληλου μεγέθους και σχήματος του θάμνου για ομαλή ανάπτυξη και διευκόλυνση της συγκομιδής των καρπών, ενώ με το δεύτερο ευνοείται η αύξηση της παραγωγής και η επιμήκυνση της διάρκειας παραγωγικής ζωής του δένδρου. Το σχήμα που δίνεται με το κλάδευμα σχηματισμού μπορεί να είναι δένδρο με κεντρικό ελαφρά τροποποιημένο άξονα ή δένδρο σε μορφή κυπέλλου. Στην ηλικία των 4 ετών σχηματίζεται ο κύριος κορμός του δένδρου, όπου κάθε χρόνο πρέπει να καθαρίζεται από τους πλάγιους βλαστούς που φύονται από τη βάση και τα βλαστάρια που έχουν μεγάλο μήκος πρέπει να κορυφολογούνται. Το κλάδευμα καρποφορίας επίσης πρέπει να πραγματοποιείται έτσι ώστε να επιτρέπεται η είσοδος του φωτός στο εσωτερικό του δένδρου. Τέλος, μεγάλη προσοχή πρέπει να δίνεται και στην απομάκρυνση των παραφυάδων που το φυτό αυτό έχει την ιδιότητα να αναπτύσσει σε μεγάλο βαθμό επειδή αφενός μεν μπορεί να αναπτυχθεί πολύ μεγάλη ανεπιθύμητη βλάστηση με αποτέλεσμα τη μείωση της παραγωγής της φυτείας, αφετέρου θα δυσκολεύονται οι καλλιεργητικές εργασίες και θα εμποδίζεται η συγκομιδή των καρπών.
Κυριότεροι εχθροί και ασθένειες. Μέχρι σήμερα λίγοι φυτοπαθαγόνοι παράγοντες, έντομα ή άλλοι εχθροί του ιππαφαούς έχουν επισημανθεί. Στον Καναδά που είναι μία χώρα που έχει αναπτύξει αρκετά την καλλιέργεια του ιππαφούς, τα κυριότερα προβλήματα που έχουν ανακύψει προέρχονται από δύο είδη ακάρεων, το Aculus tibialis και το Aceria hippophaena. Το πρόβλημα με τα δύο αυτά ακάρεα εντοπίζεται κυρίως κατά τη διάρκεια των δύο πρώτων ετών και αντιμετωπίζεται με τη χρήση χειμερινών πολτών. Μετά το 4ο έτος ηλικίας των δενδρυλλίων, δηλαδή όταν αρχίζει η περίοδος καρποφορίας, η επίδραση της προσβολής από τα δύο αυτά ακάρεα είναι ασήμαντη και δεν επιβάλλεται κανένας ψεκασμός με φυτοφάρμακα. Σε ό,τι αφορά στις ασθένειες έχει εντοπισθεί η βερτισιλίωση και έχει παρουσιαστεί σε φυτά που φέρουν καρπούς, ενώ χαρακτηρίζεται από κιτρίνισμα και προοδευτική ξήρανση των φύλλων και βλαστών.
Η συγκομιδή των καρπών. Το πιο σημαντικό κριτήριο για την ημερομηνία συγκομιδής των καρπών είναι η μέγιστη περιεκτικότητα των καρπών σε βιταμίνη C, σε οργανικά οξέα και φλαβονοειδή. Κατά τη διάρκεια της ωρίμανσης των καρπών έχει παρατηρηθεί πτώση της περιεκτικότητας σε βιταμίνη C , αντίθετα δεν η περιεκτικότητα σε φλαβονοειδή παραμένει σταθερή. Στο Καναδά που έχει εντατικοποιηθεί η καλλιέργεια σε μεγάλο βαθμό οι καρποί συγκομίζονται αρχές Αυγούστου, όταν οι καρποί αποκτούν τα χαρακτηριστικό πορτοκαλί χρώμα.
Οικονομικά στοιχεία της καλλιέργειας και προοπτικές ανάπτυξης στην Ελλάδα.
Η διάρκεια της παραγωγικής ζωής μιας φυτείας ιπποφαούς υπολογίζεται σε 30-40 έτη. Η απόδοση ανά στρέμμα σε συστηματικές φυτείες που έχουν φυτευτεί στον Καναδά μπορούν να φτάσουν και να ξεπεράσουν τα 1500 kg / στρ ανάλογα με την ποικιλία. Βέβαια, στο ιπποφαές η παραπάνω απόδοση αφορά μόνο την παραγωγή των καρπών, ωστόσο στο φυτό αυτό αξιοποιούνται εμπορικά και οι σπόροι των καρπών και τα φύλλα , και οι βλαστοί και το ξύλο. Το κόστος εγκατάστασης μιας καλλιέργειας ιπποφαούς εξαρτάται από πολλούς παράγοντες και κυρίως από τη χρησιμοποίηση ιδιόκτητων ή μισθωμένων γεωργικών μηχανημάτων και την προέλευση της ανθρώπινης εργασίας ( μισθωμένης ή ιδίας). Ενδεικτικά αναφέρεται ότι το κόστος εγκατάστασης της φυτείας το στρέμμα ανέρχεται στα 1680 Ευρώ, ενώ το κόστος συντήρησης (χωρίς να υπολογίζεται το κόστος συγκομιδής) μετά το 4ο έτος της ηλικία του στα 60 Ευρώ το χρόνο. Το μεγαλύτερο πρόβλημα στην καλλιέργεια του ιπποφαούς είναι το υψηλό κόστος συγκομιδής των καρπών. Πράγματι, οι καρποί του ιπποφαούς δεν έχουν ποδίσκους, ενώ πολλοί ερευνητές υποστηρίζουν ότι σε αντίθεση με άλλα φυτά δεν σχηματίζεται κάποια στοιβάδα απόπτωσης των καρπών. Επίσης, σε όλες σχεδόν τις ποικιλίες του ιπποφαούς οι βλαστοί φέρουν αγκάθια, ενώ οι καρποί είναι μικροί και ευαίσθητοι στην πίεση των χεριών. Από τα παραπάνω προκύπτει ότι η συγκομιδή των καρπών του ιπποφαούς απαιτεί πολλές ώρες ανθρώπινης εργασίας, κάτι που συνεπάγεται υψηλό κόστος. Σε ερευνητικές εργασίες στον Καναδά διαπιστώθηκε ότι το συνολικό κόστος των ημερομισθίων συγκομιδής των καρπών μίας φυτείας με δένδρα ηλικίας 10 ετών αποτελεί το 58 % του συνολικού κόστους παραγωγής. Συμπερασματικά ο τρόπος συγκομιδής των καρπών που συνίσταται σε μία καλλιέργεια φυτών ιπποφαούς είναι η χρησιμοποίηση μηχανών. Τελικά, αυτό που θα καθορίσει την πορεία της ανάπτυξης της καλλιέργειας του ιπποφαούς εξαρτάται από την διάθεση του προϊόντος. Καταρχάς, η εμπορία και η κατανάλωση νωπών καρπών ιπποφαούς σαν φρούτο, δεν φαίνεται να έχει εμπορικό μέλλον, εξαιτίας ότι οι καρποί δεν είναι εύγευστοι, αλλά είναι όξινοι. Ωστόσο, ο τομέας της μεταποίησης όλων των αξιοποιήσιμων μερών του (καρποί, σπόροι, φύλλα, φλοιοί) παρουσιάζει μεγάλες προοπτικές ανάπτυξης επειδή σήμερα πολλά προϊόντα ή παράγωγά του ζητούνται πολύ στις διάφορες αγορές του κόσμου. Η ευρωπαϊκή Ένωση με τον καν. 2001/112/ΕΕ περιλαμβάνει και την καλλιέργεια του ιπποφαούς στις καλλιέργειες εκείνες των οποίων οι καρποί τους μπορούν να χρησιμοποιηθούν χυμών κατάλληλων για τη διατροφή των ανθρώπων από τις χώρες της Ευρωπαϊκής Ένωσης.
Για την Ελλάδα το φυτό αυτό σήμερα είναι άγνωστη καλλιέργεια, όμως πραγματικά προκύπτουν τεράστιες δυνατότητες και εφόσον η καλλιέργεια αυτή εισαχθεί στη χώρα μας ορθολογικά και με επιστημονικό τρόπο μπορεί να αξιοποιήσει πολλές άγονες περιοχές και να δώσει εισόδημα και νέες θέσεις εργασίας με την παραγωγή και μεταποίηση όλων των αξιοποιήσιμων μερών του φυτού. Οι χρήσεις του ιπποφαούς είναι πολλές και μπορούν να αναπτυχθούν. Συνοπτικά αναφέρονται η παραγωγή απαραίτητων προϊόντων για τη βιομηχανία καλλυντικών, η παραγωγή «λειτουργικών τροφίμων», η χρησιμοποίηση των καρπών στην παραγωγή χυμού, η παραγωγή φαρμακευτικών παρασκευασμάτων, η παραγωγή προσθέτων διατροφής, η παραγωγή φυσικών χρωστικών, η παραγωγή ζωοτροφής με τη χρησιμοποίηση φύλλων και νεαρών βλαστών, η χρησιμοποίηση σε έργα πρασίνου ως καλλωπιστικός θάμνος αλλά και σε «δύσκολα» σημεία όπως στους δρόμους και κοντά στη θάλασσα. Γενικότερα, οι θρεπτικές και φαρμακευτικές ιδιότητες του ιπποφαούς σε συνδυασμό με τη μεγάλη του προσαρμοστικότητα στα διάφορα περιβάλλοντα, το καθιστούν ένα φυτό για το οποίο αξίζει κανείς να ασχοληθεί πολύ σοβαρά και να εκμεταλλευτεί όλες τις δυνατότητες αξιοποίησης που έχει.

I P P O F A E S (The Cultivation) Sea buckthorn (Hippophae rhamnoides) is a plant species that comes from Europe and Asia and in ancient Greece its nutritional and medicinal properties were known. Tradition states that M. Alexander's soldiers gained great resistance to hardships by eating its fruits, while its leaves and young shoots were given as fodder along with horse hay to gain strength, but also rapid growth while giving a bright color in their hair. After all, the name hippophaes comes from the Greek words ippos and faos, that is, bright. The increased content of valuable substances for the body justify the above uses of sea buckthorn as well as the fact that this plant is placed in the top ten of the most powerful healing plants in the world. More specifically, sea buckthorn contains phytosterols, tocopherols, flavonoids and carotenoids, substances that prevent heart disease and generally protect the body from various other diseases. Its vitamin C content is 30 times greater than that of an orange and 5 times greater than that of a kiwi. Its vitamin E content is greater than that of wheat and maize, as well as that of vitamin A is greater than that of carrot and hawthorn. Polyunsaturated acids ω-3, ω-6 make up the largest percentage of the content of seed oils and reach up to 75%. Its various chemicals also have powerful antioxidant, anti-inflammatory, antimicrobial, analgesic and healing effects. Because of these properties of the sea buckthorn, an extraordinary interest in this plant was created at a global level, as a result of which research works were made public, contributing to the development of its cultivation. The countries in which it is cultivated, but also found naturally, are China, Mongolia, India, Nepal, Pakistan, Russia, Ukraine, England, France, Denmark, Holland, Germany, Poland, Finland, Sweden, Bulgaria, Norway, etc. From a soil-climatic point of view, sea buckthorn can be cultivated up to an altitude of 3900 m, it is drought tolerant and even in flooded soils, while it can also grow in soils with high sodium chloride concentrations. Its ecology allows it to be cultivated in abandoned agricultural lands, uncultivated lands, sandy coastal areas, burnt lands or even on rocky islands. It is also known as a plant that protects the soil from soil erosion due to the dense surface root system it develops, while at the same time, without being legumes, its roots coexist with microorganisms that bind nitrogen from the atmosphere and deliver it to the soil. In general, sea buckthorn is a species that adapts very well to environmental adversities. Even in extreme soils, such as gravelly soils or sandy soils that are poor in nutrients, sea buckthorn can grow. However, the systematization and development of sea buckthorn cultivation requires control of parameters related to yield and quality. In more detail, soil preparation, soil fertility, plant spacing, pruning, irrigation and pest and disease control as well as weed control are factors that are of great importance for the establishment and development of a new crop. Cultivation of sea buckthorn Soil preparation before planting. Before planting the seedlings, sun disinfection is applied. Then, in the case that the soil is sandy, it is enough to lightly work the soil with a cultivator and add digested manure. In the case of soils with a medium or heavy composition, it is necessary to carry out a deep plowing and then treatment with a disc harrow. If there is a problem of poor drainage, deep cultivation with a soil cultivator is required to break up the impermeable soil. To control weeds, it is recommended to cover the planting lines with plastic. The acidity and alkalinity of the soil are not limiting factors for the cultivation of sea buckthorn, but this plant prefers a soil pH that ranges between 5.5 -7. Soil fertility and fertilization - irrigation. In general, sea buckthorn in fertile soils does not need fertilization. However, various research works and experiments showed a positive reaction of the plant to the addition of trace elements and fertilizers in general. On the other hand, nitrogen fertilization can also be a negative parameter for plant growth. The international literature does not include much information on possible nutrient deficiencies and their effect on sea buckthorn growth. What is important to mention is that each interested producer must do the necessary analysis of the soil for the merit calculation of fertilizer and calcium needs. Irrigation is only required in areas where the annual rainfall of the area where the crop will be established is less than 400 mm. In areas where rainfall varies between 400mm and 800mm per year, irrigation is not required for crop growth, however irrigation will be a key factor in ensuring high production and fine quality fruit. If the grower eventually decides to install an irrigation network, the two recommended methods are aerial irrigation and drip irrigation. Planting the seedlings and establishing the crop. The selection of the variety suitable for the soil and climate conditions prevailing in the area where the crop is installed is a practice that allows the producer to maximize yields and optimize the growth of the crop. When placing the plants in the pits, it should be provided that they have a depth slightly greater than that where the plants were in the nursery or in the pots. It is good to plant in cool weather, while the field must be watered immediately after planting. Sea buckthorn is a dioecious plant, so when planting the trees one should foresee the placement of plants with male flowers in a certain distribution and proportion. Of course, the above applies when the seedlings come from rude reproduction and the sex is known. Planting distances are chosen between dense planting that allows us high production and more sparse planting that will allow us to mechanize the cultivation work. The recommended distances are 1 – 1.5 m on the planting line and 4 – 5 m between the lines. The pruning. There are two types of pruning in sea buckthorn, formation pruning and fruiting pruning. With the first, the creation of the appropriate size and shape of the bush is achieved for smooth growth and facilitating the harvesting of the fruits, while with the second, it favors the increase in production and the extension of the productive life of the tree. The shape given by formative pruning can be a tree with a slightly modified central axis or a cup-shaped tree. At the age of 4 years, the main trunk of the tree is formed, where every year it must be cleaned of the side shoots that grow from the base and the shoots that are long must be topped. Fruiting pruning should also be done to allow light to enter the interior of the tree. Finally, great attention must also be paid to the removal of the offshoots that this plant has the ability to grow to a large extent because on the one hand very large unwanted vegetation can develop resulting in a reduction in the production of the plantation, on the other hand it will make cultivation work difficult and the harvesting of the fruits will be prevented. Main enemies and diseases. To date few phytopathogenic agents, insects or other enemies of horsetail have been identified. In Canada, which is a country that has quite developed the cultivation of sea buckthorn, the main problems that have arisen come from two species of mites, Aculus tibialis and Aceria hippophaena. The problem with these two mites is mainly found during the first two years and is treated with the use of winter pastes. After the 4th year of age of the seedlings, i.e. when the fruiting period begins, the effect of infestation by these two mites is insignificant and no pesticide spraying is required. As far as diseases are concerned, verticillosis has been identified and has occurred in fruit-bearing plants, and is characterized by yellowing and progressive drying of leaves and shoots. Harvesting the fruits. The most important criterion for the harvest date of the fruits is the maximum content of the fruits in vitamin C, in organic acids and flavonoids. During the ripening of the fruits, a drop in the content of vitamin C has been observed, on the contrary, the content of flavonoids does not remain constant. In Canada, where cultivation has been intensified to a large extent, the fruits are harvested in early August, when the fruits acquire their characteristic orange color. Economic data of cultivation and development prospects in Greece. The productive life of a sea buckthorn plantation is estimated at 30-40 years. The yield per hectare in systematic plantations planted in Canada can reach and exceed 1500 kg / hectare depending on the variety. Of course, in sea buckthorn the above performance only concerns the production of the fruits, however, the seeds of the fruits and the leaves, and the stems and the wood are also used commercially in this plant. The cost of setting up a sea buckthorn farm depends on many factors and mainly on the use of private property or wages agricultural machinery and the origin of human labor (hired or own). Indicatively, it is stated that the cost of setting up the plantation per hectare amounts to 1680 Euros, while the maintenance cost (without counting the cost of harvesting) after the 4th year of its age is 60 Euros per year. The biggest problem in the cultivation of sea buckthorn is the high cost of harvesting the fruits. Indeed, the fruits of sea buckthorn do not have pedicels, while many researchers argue that, unlike other plants, no apoptotic layer of fruits is formed. Also, in almost all varieties of sea buckthorn the stems bear thorns, while the fruits are small and sensitive to the pressure of the hands. From the above it follows that the harvesting of sea buckthorn fruits requires many hours of human labor, which entails high costs. In research work in Canada, it was found that the total cost of harvesting the fruits of a plantation with 10-year-old trees constitutes 58% of the total cost of production. In conclusion, the method of harvesting the fruits that consists in a culture of sea buckthorn plants is the use of machines. Ultimately, what will determine the course of sea buckthorn cultivation development depends on the availability of the product. First of all, marketing and eating fresh sea buckthorn as fruit does not seem to have a commercial future, because the fruits are not palatable, but are acidic. However, the sector of the processing of all its usable parts (fruits, seeds, leaves, barks) shows great growth prospects because today many of its products or derivatives are in great demand in the various markets of the world. The European Union with the regulation 2001/112/EU also includes the cultivation of sea buckthorn in those crops whose fruits can be used for juices suitable for human consumption from the countries of the European Union. For Greece today this plant is an unknown crop, but it really has huge potential and if this crop is introduced to our country in a rational and scientific way it can utilize many barren areas and provide income and new jobs with the production and processing of all of the usable parts of the plant. The uses of sea buckthorn are many and can be developed. The production of necessary products for the cosmetics industry, the production of "functional foods", the use of fruits in the production of juice, the production of pharmaceutical preparations, the production of food additives, the production of natural pigments, the production of animal feed using leaves and young shoots, the use in green projects as a decorative shrub but also in "difficult" places such as on the roads and near the sea. More generally, the nutritional and medicinal properties of sea buckthorn, combined with its great adaptability to different environments, make it a plant that deserves to be taken seriously and take advantage of all its potential uses.

«Ο Όμηρος κάνει καλό στην… καρδιά»

«Ο Όμηρος κάνει καλό στην… καρδιά»
ΑΡΘΡΟ ΤΗΣ ΕΦΗΜΕΡΙΔΑΣ «Ο ΚΟΣΜΟΣ ΤΟΥ ΕΠΕΝΔΥΤΗ»
Επιστήμονες υποστηρίζουν ότι η απαγγελία της Οδύσσειας
και της Ιλιάδας συγχρονίζει αναπνοή και παλμούς
«Ο Όμηρος κάνει καλό στην καρδιά», ισχυρίζονται Ευρωπαίοι επιστήμονες, παραπέμποντας στην αφηγηματική τεχνική του μεγάλου αρχαίου επικού και στις επιδράσεις που μπορεί να έχουν τα έργα του όχι μόνο στην νόηση αλλά και στην ομαλή λειτουργία του ανθρώπινου σώματος. Σε έρευνα που δημοσιεύει το «American Journal of Physiology» υποστηρίζεται ότι ο ξεχωριστός ρυθμός, ο λεγόμενος δακτυλικός εξάμετρος, το αρχαιότερο μέτρο ποίησης με το οποίο ο Όμηρος επέλεξε να γράψει τα έπη της «Οδύσσειας» και της «Ιλιάδας», επιδρά θετικά στον συγχρονισμό της αναπνοής και των παλμών της καρδιάς όταν κάποιος τα απαγγέλλει.

Αργές ανάσες
Όπως υποστηρίζουν οι επιστήμονες, με την απαγγελία στίχων υπό αυτήν την μορφή μπορούν να επιτευχθούν αργές ανάσες που βοηθούν τόσο στην καρδιακή λειτουργία όσο και στην σωστή αναπνοή. Παρακολουθώντας συστηματικά τις αντιδράσεις του οργανισμού 20 ατόμων κατά την διάρκεια απαγγελίας στίχων από την Ομηρική «Οδύσσεια», ανακάλυψαν μια εκπληκτική επίδραση στον συγχρονισμό των αναπνοών και των καρδιακών παλμών. «Είναι προφανές ότι το εξάμετρο βοηθά τον ανθρώπινο οργανισμό να βρεί τον δικό του σωστό ρυθμό», υποστηρίζουν οι ερευνητές. Θεωρείται μια ανακάλυψη ιδιαίτερα σημαντική, τόσο για την κατανόηση των μηχανισμών που βοηθούν στην λειτουργία της καρδιάς και της αναπνοής όσο και για την θεραπεία καρδιακών παθήσεων.

Σωστός τονισμός
Όπως έχει αποδειχθεί, επιδρούν θετικά κυρίως στο κυκλοφορικό σύστημα του ανθρώπινου οργανισμού, καθώς όταν κάποιος τα απαγγέλλει με τον σωστό τρόπο η αναπνοή του περιορίζεται σε έξι εισπνοές το λεπτό, κάτι που βοηθά την καρδιά να λειτουργεί αποτελεσματικά. ’λλες έρευνες έχουν αποδείξει ότι η απαγγελία τους μειώνει την πίεση και ευνοεί την αποτελεσματική λειτουργία των πνευμόνων. Όσο για τα Ομηρικά έπη, οι επιστήμονες υποστηρίζουν ότι δεν είναι ανάγκη να διαβάσει κανείς και τους 12.000 στίχους της «Οδύσσειας», αρκεί να απαγγείλει λίγες στροφές περπατώντας και ακολουθώντας τον τονισμό των συλλαβών.

http://news.kathimerini.gr/4Dcgi/4Dcgi/_w_articles_civ_1752976_28/10/2005_161700

 

"Homer is good for the... heart" ARTICLE FROM "THE INVESTOR'S WORLD" NEWSPAPER Scientists argue that the recitation of the Odyssey and of the Iliad synchronizes breath and pulse "Homer is good for the heart", claim European scientists, referring to the narrative technique of the great ancient epic and the effects that his works can have not only on the intellect but also on the smooth functioning of the human body. In a study published by the "American Journal of Physiology" it is claimed that the distinct rhythm, the so-called dactylic hexameter, the oldest poetry meter with which Homer chose to write the epics "Odyssey" and "Iliad", has a positive effect on synchronization of breathing and heartbeat when one recites them. Slow breaths According to scientists, by reciting verses in this form, slow breaths can be achieved that help both heart function and proper breathing. By systematically monitoring the reactions of the body of 20 people during recitation of verses from Homer's "Odyssey", they discovered a surprising effect on the synchronization of breathing and heartbeats. "It is clear that hexameter helps the human body find its own proper rhythm," the researchers argue. It is considered a particularly important discovery, both for understanding the mechanisms that help the heart and breathing function and for the treatment of heart diseases. Correct accent As it has been proven, they have a positive effect mainly on the circulatory system of the human body, since when someone recites them in the right way, their breathing is limited to six breaths per minute, which helps the heart to work efficiently. Other research has proven that reciting them reduces pressure and favors the efficient functioning of the lungs. As for the Homeric epics, scientists argue that it is not necessary to read all 12,000 verses of the "Odyssey", it is enough to recite a few stanzas while walking and following the stress of the syllables.

Μαθηματική Λογοτεχνία: Μαγικός συνδυασμός ή Ουτοπία;

πηγή: http://gerasimos-politis.blogspot.com/2011/11/blog-post_21.html#.UAlOTZE7c7o
Μαθηματική Λογοτεχνία: Μαγικός συνδυασμός ή Ουτοπία;
Ακούγοντας κάποιος τη φράση μαθηματική λογοτεχνία σίγουρα σαστίζει. Ο συσχετισμός μαθηματικών και λογοτεχνίας μοιάζει να είναι ένα εγχείρημα αντιφατικό. Αν όμως σκεφτεί λίγο καλύτερα αρχίζει, ίσως, να φαντάζεται πολύπλοκες εξισώσεις ενταγμένες σε ένα μυθιστορηματικό πλαίσιο. Όμως ούτε αυτό είναι μαθηματική λογοτεχνία. Πως όμως στην πράξη καταφέρνουν μαθηματικά και λογοτεχνία να συσχετιστούν; Οι ορισμοί των δύο εννοιών μας δίνουν μια πρώτη εικόνα των μεγάλων διαφορών που τις χωρίζουν.

Μαθηματικά: Το σύνολο των κανόνων με τους οποίους, μέσω συμπερασματικών λογισμών, μελετούμε τις ιδιότητες των αφηρημένων εννοιών και τις σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ τους. Σύμφωνα με τον Ντεκάρτ «όλες οι επιστήμες που έχουν σκοπό την αναζήτηση της τάξης και του μεγέθους, υπάγονται στα μαθηματικά».Άγνωστο είναι το πότε έγινε χρήση των αριθμών για την καταμέτρηση αντικειμένων κι αν η χρήση αυτή προηγήθηκε από τη χρήση άλλων στοιχείων που είχε επινοήσει ο άνθρωπος για την απαρίθμηση.

Λογοτεχνία: Η τέχνη του λόγου, η ικανότητα να χειρίζεται κανείς τις αγωνίες και τα προβλήματα μιας εποχής, γι’ αυτό και είναι ο καθρέφτης της κάθε εποχής. Η λογοτεχνία ανήκει στις καλές τέχνες και αντλεί το περιεχόμενό της από τη ζωή, δεν είναι όμως ένα αντίγραφο ή μια απεικόνισή της. Ο λογοτέχνης παίρνει τα θέματά του από τον πλούσιο κόσμο της πραγματικότητας και της εμπειρίας και διαλέγει τους δικούς του εκφραστικούς δρόμους, δημιουργώντας μιαν αδιάσπαστη ενότητα περιεχομένου και μορφής, όπου το περιεχόμενο καθορίζει τη μορφή και η μορφή το περιεχόμενο.

Δύσκολα μπορεί κανείς να φανταστεί, πόσο μάλλον και να κατανοήσει, το πως μπορούν , η υποκειμενική κρίση στα δεδομένα, τα διπλά νοήματα και η ασάφεια που χαρακτηρίζουν τη λογοτεχνία, να συμβιβαστούν με την αυστηρότητα, τη σαφήνεια και την αντικειμενικότητα των μαθηματικών.

Αρχικά, θα αναφερθούμε στις ιστορικές στιγμές όπου μαθηματικά και λογοτεχνία συναντήθηκαν από την αρχαιότητα μέχρι τις μέρες μας, αλλά κυρίως θα επιχειρήσουμε ένα ταξίδι στη σύγχρονη μαθηματική λογοτεχνία. Ένα νέο είδος λογοτεχνικής παραγωγής που αξιολογείται, αυξάνεται και συμβαδίζει με την προσέγγιση στη λογική και στην καλή ποιότητα.

Από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, τα λογοτεχνικά κείμενα όταν αναφέρονται στα μαθηματικά επιδεικνύουν ιδιαίτερο σεβασμό. Ήδη από το 500 π.Χ. , στις αρχαίες τραγωδίες γίνεται αναφορά στους αριθμούς (π.χ. Αισχύλου Προμηθέας Δεσμώτης).

Όμως, όσο σεβασμό δείχνει η λογοτεχνία για τα μαθηματικά, τόσο σκωπτική διάθεση και ειρωνεία επιδεικνύει για τους μαθηματικούς. Τα κλισέ του «αφηρημένου μαθηματικού», του περιθωριακού τύπου που ζει «στον κόσμο του», είναι στοιχείο που υπάρχει ήδη από τα κλασικά χρόνια (415 π.Χ. , Όρνιθες Αριστοφάνη). Ο Αριστοφάνης ως κωμικός ποιητής, σατιρίζει διάφορους αθηναϊκούς χαρακτήρες κι ανάμεσά τους και μαθηματικούς.

Όμως , ο Αριστοφάνης σατιρικός ποιητής είναι και δουλειά του να διακωμωδεί τους πάντες. Ωστόσο, ανέκδοτα για τους μαθηματικούς αναφέρει ακόμα και ο Πλάτωνας που είναι γνωστό ότι τους σεβόταν. Eτσι, στο διάλογο Θεαίτητος διαβάζουμε:

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Όπως ακριβώς και ο Θαλής, Θεόδωρε, που ενώ παρατηρούσε τα άστρα κοιτάζοντας προς τα πάνω, έπεσε σ ’ ένα πηγάδι. Τότε, λένε, πως κάποια χαριτωμένη και σπιρτόζα υπηρέτρια απ ’ τη Θράκη τον κορόιδεψε, παρατηρώντας πως από το μεγάλο ζήλο του να μάθει για όσα είναι στον ουρανό, δε βλέπει αυτά που είναι μπροστά του κι ανάμεσα στα πόδια του. Το ίδιο πείραγμα ισχύει για όλους όσους ζουν φιλοσοφώντας. Πράγματι, ένας τέτοιος άνθρωπος, δεν προσέχει διόλου τον πλησίον του και το γείτονα, όχι μονάχα το τι αυτός πράττει, αλλά σχεδόν και αν είναι άνθρωπος ή τίποτε άλλο ζωντανό. Τον ενδιαφέρει μόνο το τι τάχα είναι ο άνθρωπος και τι είναι αυτό στην ανθρώπινη φύση που τη διαφοροποιεί από αυτή των άλλων όντων.

Όπως όλοι οι μαθητές στον κόσμο, έτσι κι εμείς έχουμε συναντηθεί με το Θαλή αρκετές φορές. Κάθε φορά όμως, ο καθηγητής μιλούσε για το θεώρημα, ποτέ για τον άνθρωπο, το πρόσωπο. Άλλωστε στο μάθημα τον μαθηματικών δεν συζητούσαμε ποτέ για τους ανθρώπους. Πού και πού κάποιο όνομα έβγαινε στην επιφάνεια: Θαλής, Πυθαγόρας, Ντεκάρτ. Ήταν όμως σκέτο όνομα. Σαν όνομα τυριού ή σταθμού του μετρό. Δεν μιλούσαμε ποτέ για το πότε ή το που συνέβει κάτι. Οι μαθηματικοί τύποι και οι αποδείξεις, απλώς προσγειωνόντουσαν στον πίνακα. Σα να μην τους είχε ποτέ κανείς δημιουργήσει, σα να ήταν εκεί πάντα, όπως τα βουνά και τα ποτάμια. Εδώ και τα βουνά είχαν κάποια ιστορία, κάποια αρχή. Θα’ λεγε κανείς ότι τα θεωρήματα ήταν διαχρονικότερα από τα βουνά και τα ποτάμια, όπως απολογείται κι ένας σπουδαίος μαθηματικός, ο G.H.Hardy: «Τον Αρχιμήδη θα τον θυμούνται όλοι, όταν ο Αισχύλος θα ξεχαστεί. Γιατί οι γλώσσες πεθαίνουν ενώ οι μαθηματικές αλήθειες είναι παντοτινές. Η λέξη «αθανασία», ίσως να είναι μια λέξη ανόητη, αλλά αν σημαίνει κάτι, αυτό το διεκδικεί πολύ περισσότερο απ ’ τον καθένα ο μαθηματικός.»

Τα μαθηματικά όμως, δεν είναι ούτε Ιστορία ούτε Γεωγραφία, ούτε Γεωλογία. Αλήθεια τι είναι; Η ερώτηση δεν μοιάζει να ενδιαφέρει πολύ κόσμο. Την εποχή του Θαλή, τον 6ο π.Χ. αιώνα, η φιλοσοφία και τα μαθηματικά ήταν αδιαχώριστα. Άλλωστε οι ίδιες οι λέξεις δεν υπήρχαν ακόμα. Δημιουργήθηκαν πολύ αργότερα και ακόμα πιο μετά, χωρίστηκαν οι έννοιες. Σήμερα όμως, όλος ο κόσμος λησμονεί ότι στη γέννησή τους ήταν ενωμένες.

Αξίζει να αναφερθούμε επίσης σε ένα λογοτεχνικό κείμενο του 5ου μ.Χ. αιώνα που αναφέρεται στο σύνολο των επιστημών της εποχής εκείνης. «Ο Γάμος του Ερμή και της Φιλολογίας». Ο θεός Ερμής νυμφεύεται την Φιλολογία. Οι επτά ελεύθερες τέχνες παρελαύνουν για να ευχηθούν και αυτοπαρουσιάζονται. Ανάμεσά τους και η Αριθμητική, που η παρουσίασή της καταλαμβάνει 58 από τις 379 σελίδες του έργου, καθώς και η Γ εωμετρία η οποία καταλαμβάνει 60 σελίδες.

Αργότερα, η παρουσία των μαθηματικών σε ένα μυθιστόρημα αρκείται στην ιδέα ότι «αφού είναι μαθηματικό είναι εγγυημένα αληθές, αλλά έτσι κι αλλιώς δεν το καταλαβαίνει κανένας» . Γίνεται δηλαδή επίκληση κάποιου συγκεχυμένου μαθηματικού όρου ή τύπου, που εξασφαλίζει τη νομιμοποίηση της φυσικής παρανομίας.

Θα χρειαστεί να περιμένουμε μέχρι τον 19ο αιώνα για να έχουμε ένα λογοτεχνικό έργο, αφιερωμένο εξ’ ολοκλήρου στα μαθηματικά. Η «επιπεδοχώρα» του Abbot περιγράφει ένα δισδιάστατο κόσμο, του οποίου τα κατώτερα κοινωνικά όντα είναι οι γυναίκες που είναι ευθύγραμμα τμήματα, είναι όμως πολύ επικίνδυνες γιατί με τα άκρα τους μπορούν εύκολα να σκοτώσουν οποιοδήποτε άλλο κάτοικο της Επιπεδοχώρας. Οι κατώτεροι κοινωνικά άνδρες είναι τρίγωνα. Όσο περισσότερο ανεβαίνει κανείς τόσο περισσότερες πλευρές αποκτά. Η αφρόκρεμα της κοινωνίας, το εκκλησιαστικό ιερατείο, είναι οι κύκλοι. Ένας από τους κατοίκους της επιπεδοχώρας ο Α. Square ονειρεύεται ότι βρίσκεται στη γραμμοχώρα, ένα μονοδιάστατο χώρο, όπου προσπαθεί με τρομερές δυσκολίες να περιγράψει στους κατοίκους της, τις δύο διαστάσεις. Την άλλη μέρα, τον επισκέπτεται στην Επιπεδοχώρα μια σφαίρα από την Χωροχώρα που τον ξεναγεί στον κόσμο των τριών διαστάσεων. Το βιβλίο αυτό αποτελεί την καλύτερη εισαγωγή στον χώρο των v διαστάσεων και βοηθά στην ενορατική αντίληψη της επέκτασης σε χώρους με περισσότερες από τρεις διαστάσεις.

Με την κατηγοριοποίηση της Μαθηματικής Λογοτεχνίας στα τέλη του 20ου αιώνα βρισκόμαστε σήμερα σε μια κυριολεκτική άνθησή της. Το φαινόμενο αυτό καταδεικνύει αναμφισβήτητα το αυξημένο ενδιαφέρον του κοινού αν όχι για τα μαθηματικά, τουλάχιστον γύρω από αυτά. Μπορεί βέβαια το ενδιαφέρον αυτό, να μη σημαίνει τη μεταστροφή προς το αρχέγονο δέος για τα μαθηματικά, αναμφίβολα όμως αποτελεί μια πρόκληση.

Έτσι, στην πρώτη κατηγορία ανήκουν τα μυθιστορήματα που έχουν ως βασικό τους θέμα τα μαθηματικά, δηλαδή η μυθοπλασία χρησιμοποιείται με σκοπό την ανάπτυξη, ή ακόμη και διδασκαλία μαθηματικών εννοιών. Στη κατηγορία αυτήν εντάσσεται, το μυθιστόρημα «Flatterland» του Ian Stewart, το οποίο αποτελεί μια συνέχεια του κλασσικού μυθιστορήματος «Flatland». Η περιπέτεια ξεκινά, όταν η ηρωίδα, Βικτόρια Line (γραμμή), ανακαλύπτει στη σοφίτα του σπιτιού της το σκοροφαγωμένο ημερολόγιο του προ-προπάππου της Albert Square (τετράγωνο). Η Βίκυ προσβάλλεται από τον ιό της Τρίτης Διάστασης, προς μεγάλη άγνοια των γονέων της, ακολουθώντας τα βήματα του προγόνου της στο εκτεταμένο σύμπαν της Τρίτης Διάστασης. Μία συναρπαστική ιστορία, γεμάτη δράση και «τάση φυγής» από το περιβάλλον, χαρίζει στον αναγνώστη μια εξωπραγματική διαδρομή, που ξεπερνά τα όρια του χρόνου και του χώρου.



Ένα ακόμη σπουδαίο βιβλίο του συγγραφέα Χρίστου Χ. Παπαδημητρίου, «Το Χαμόγελο του Τουρίνγκ», ανήκει στην ίδια κατηγορία. Ένα μυθιστόρημα τριγυρισμένο από μια «δροσερή» πνοή καλοκαιρινής περιπέτειας, που μυεί τον αναγνώστη στη δύναμη των μαθηματικών, της φιλοσοφίας, της πληροφορικής και της ζωής. Μια ακαταμάχητη δύναμη που μετασχηματίζει τη ζωή μας, σ’ όλες τις απόκρυφες πτυχές της: τον έρωτα, την πολιτική, ακόμη και το θάνατο, με τρόπους λεπτούς, πολύπλοκους, ριζικούς και τελικά λυτρωτικούς.

Ένα πλέγμα μυστηρίου και λογικής, εκτυλίσσεται στο μαθηματικό μυθιστόρημα του Denis Guedj : «Το θεώρημα του Παπαγάλου». Μια ανήσυχη, περιπετειώδης και συναρπαστική ιστορία, το Παρίσι, ταξιδιωτικές περιγραφές, μια παρέα που προσπαθεί να εξιχνιάσει το θάνατο ενός φίλου της και ένας φλύαρος παπαγάλος αποκαλύπτουν έναν μαγικό κόσμο των Μαθηματικών πολύ πιο «ανθρώπινο», απ’ όσα αφήνουν να φανεί, οι περίπλοκες εξισώσεις που συνήθως τον πλαισιώνουν.



Ένα πιο σύγχρονο μυθιστόρημα, είναι το “Once upon a number”, του John Allen Paulos, ο οποίος ισχυρίζεται ότι τα Μαθηματικά και η καθημερινή μας ζωή είναι αλληλένδετα και η μία περιοχή πληροφορεί την άλλη. Με άλλα λόγια, ο Paulos γράφει πως οτιδήποτε συμβαίνει στον κόσμο, μπορεί να περιγραφεί με μαθηματικό τρόπο. Χρησιμοποιώντας φανταστικούς διάλογους μεταξύ του Bernard Russel και του Grouho Marx, δείχνει πως η τακτική που χρησιμοποιούσε στις τρομοκρατικές πράξεις ο Unabomber, είναι προϊόν μαθηματικής ευφυΐας.

Ο Πιερ ντε Φερμά, μελέτησε το 17ο αι. το βιβλίο του Διοφάντου «Αριθμητικά» και στάθηκε στο Πυθαγόρειο Θεώρημα, σημειώνοντας στο περιθώριο της σελίδας τη φράση: «Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη, όμως το περιθώριο της σελίδας είναι πολύ στενό για να το αναπτύξω». Για τα επόμενα 350 χρόνια, η φράση αυτή του Φερμά, έγινε έμμονη ιδέα των διασημότερων μαθηματικών μυαλών, που από τότε ρίχνονται σ’ έναν φοβερό αγώνα για την επίλυση αυτού του μαθηματικού προβλήματος. Όλο αυτά εξετάζονται και αναλύονται στο βιβλίο του Simon Singh, «Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά».



Στην ίδια επίσης κατηγορία κατατάσσονται και τα εξής: «Την κυρία ή την τίγρη;», «Ο Σατανάς, ο Cantor και το άπειρο»(R.Smullyan), « To βιβλίο κόλαση»(Carlo Frabetti), « To σπασμένο ζάρι» (Ivar Ekeland) κ.ά.


 

Στην δεύτερη κατηγορία ανήκουν τα μυθιστορήματα που αναφέρονται σε μαθηματικούς. Κάποιοι από τους χαρακτήρες είναι Μαθηματικοί και η πλοκή καθορίζεται από αυτή την ιδιότητα. Το διασημότερο και πολυδιαβασμένο έργο του Απόστολου Δοξιάδη, «Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ», υπάγεται σ’ αυτή την κατηγορία. Το βιβλίο αυτό, περιγράφει τη ζωή ενός ανθρώπου που έχει αφιερωθεί στα μαθηματικά. Ο αφηγητής - ανιψιός του ανακαλύπτει ότι ήταν κάποτε φημισμένος μαθηματικός, τόσο ιδιοφυής και παράτολμος ώστε να ασχοληθεί με την περίφημη «Εικασία του Γκόλντμπαχ». Ένα γοητευτικό μαθηματικό μυστήριο, που ξεναγεί και κάποιον μαθηματικά αστοιχείωτο στον πανέμορφο κόσμο των μαθηματικών και σε μερικά από τα πλέον αξιόλογα μαθηματικά θεωρήματα όπως την «Υπόθεση του Riemann» και το «Θεώρημα της μη πληρότητας» του Gendel. Έργο υψηλής αξίας και μεγάλων πραγματεύσεων, που συναρπάζει........

Χρησιμοποιώντας τη φόρμα πανεπιστημιακού μυθιστορήματος, ο Philibert Schogt, μέσα από το βιβλίο του με τίτλο: «Οι άγριοι αριθμοί», μας εισάγει στον τρόπο σκέψης και δουλειάς όσων ασχολούνται με τα καθαρά μαθηματικά. Η σκληρότητα και το πνεύμα ανταγωνισμού που κυριαρχούν στα πανεπιστήμια, η ιδιωτική πορεία και η απομόνωση, που ακολουθούν οι ερευνητές στο δύσκολο δρόμο της γνώσης και της αυτογνωσίας, αποδίδονται με χιούμορ και ανάλαφρη γραφή που αφήνει όμως να διαφανεί η έντονη κριτική του συγγραφέα, «για τη θέση του μαθηματικού στη σύγχρονη κοινωνία των γιάπηδων, μια κοινωνία που όχι μόνο περιφρονεί και περιθωριοποιεί όσους δεν ασχολούνται με κάτι χρήσιμο και αποδοτικό, αλλά και θεωρεί καθήκον της να τους αναμορφώσει.», όπως γράφει στον πρόλογο του βιβλίου ο υπεύθυνος της μετάφρασής του, Τεύκρος Μιχαηλίδης.

Μέσα από την τρίτη κατηγορία, στην οποία ανήκουν οι μυθιστορηματικές βιογραφίες, ξεχωρίζει για το ενδιαφέρον που προκαλεί και τη δραματικότητά του, το έργο: « Ο Γάλλος μαθηματικός», του Tom Petsinis. Ένα βιβλίο που εξιστορεί την ταραχώδη και σύντομη ζωή του Εβαρίστ Γκαλουά, χρησιμοποιώντας δυνατό και σαγηνευτικό μυθιστορηματικό λόγο, που γίνεται αμέσως ελκυστικός και αξιοπρόσεχτος, από το γεγονός ότι αφηγητής είναι ο ίδιος ο Γκαλουά. Οι μαθηματικές ιδιοφυΐες είναι άνθρωποι του πνεύματος, είναι αλλόκοτοι, και το κυριότερο, είναι πολύ σπάνιοι. Στον Γάλλο μαθηματικό, ένας συγγραφέας με σπουδαίο μυθοπλαστικό ταλέντο, καταφέρνει να συνδυάσει τον πολύπλοκο τρόπο σκέψης του μαθηματικού νου, με τα γεγονότα μιας συγκλονιστικής περιόδου. (Εποχή Ναπολέοντα-εσωτερικές διαμάχες Γαλλίας ).

Μία ακόμη μυθιστορηματική βιογραφία του ομώνυμου είδους, είναι και το έργο του G.H.Hardy, «Η απολογία ενός μαθηματικού».



Τέλος, σε μια τέταρτη κατηγορία υπάγονται τα έργα που προβάλλουν Εκλαϊκευμένα τα μαθηματικά. Δηλαδή, έργα που αναφέρονται σε μαθηματικά απλουστευμένης, κατά κάποιο τρόπο, μορφής, με σκοπό την κατανόηση των εννοιών που παρουσιάζουν ακόμη κι από ένα άτομο μαθηματικά αστοιχείωτο. Στο βιβλίο του «Η γοητεία των μαθηματικών», ο Serge Lang περιλαμβάνει τρεις συζητήσεις που είχε με το κοινό κατά τις επισκέψεις του στο Palais de la Decouverte του Παρισίου. Στις σελίδες του βιβλίου ο Lang καταφέρνει με αξιοθαύμαστη δεξιοτεχνία να μεταδώσει σε ένα κοινό χωρίς ιδιαίτερες μαθηματικές γνώσεις, σημαντικά μαθηματικά ζητήματα όπως τους πρώτους αριθμούς, τις διοφαντικές εξισώσεις καθώς και τη γεωμετρία των ν -διαστάσεων.

Σε αυτό το είδος, επίσης, κατατάσσονται και τα έργα: «Ο Ταξιδευτής των μαθηματικών» και « Η μουσική των πρώτων αριθμών».

O κοινός δρόμος ανάμεσα στα μαθηματικά και τη λογοτεχνία, ξεκίνησε από το συνέδριο «Μαθηματικά και Αφήγηση» που πραγματοποιήθηκε στη .....Μύκονο και συνεχίζει να χαράζεται από πολλούς μαθηματικούς - συγγραφείς , ανάμεσά τους, ο Απόστολος Δοξιάδης, ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, ο Barry Mazur, ο John Barrow, o Marcus du Sautoy, o Timothy Gowers και πολλοί άλλοι.



Εμείς επιχειρήσαμε μια πλοήγηση στις ιστορικές στιγμές όπου μαθηματικά και λογοτεχνία συναντήθηκαν και στις αναφορές της σύγχρονης μαθηματικής λογοτεχνίας. Πρέπει να ομολογήσουμε, πως κατά την πρώτη επαφή με το αντικείμενο αυτό, που συνδυάζει και ταυτόχρονα διατηρεί την μοναδικότητα δύο τόσο διαφορετικών, οπτικά, αλλά και τόσο συνταιριασμένων ειδών, Λογοτεχνίας και μαθηματικών, αισθανθήκαμε έκπληξη και διάθεση για ένα βήμα τολμηρό. Όπως όμως αποδείχθηκε κατά τη διάρκεια της ενασχόλησής μας με το θέμα αυτό, κατανοήσαμε πως τα δύο αυτά είδη, έχουν μεταξύ τους μια έμμεση αλλά και άμεση συγγένεια. Το γεγονός αυτό, τεκμηριώνεται από τα αρχαία ακόμη χρόνια, κατά τα οποία μόλις έκανε την εμφάνισή του, και από τη διαχρονικότητά της πορείας που ακολούθησε. Ο συνδυασμός της υποκειμενικότητας και της αντικειμενικότητας, της ασάφειας και της σαφήνειας, της ελευθερίας και του περιορισμού, πραγματοποιείται τελικά μ’ έναν απόλυτα αρμονικό τρόπο, που ελκύει και απογειώνει ενώ ταυτόχρονα συγκρατεί και επιβεβαιώνει σκέψεις ,που οδηγούν σε συμπεράσματα

Στον πρόλογό μας αναφέραμε τις έννοιες που ορίζουν τη Λογοτεχνία και τα Μαθηματικά. Όσο κι αν ερευνήσαμε κατά καιρούς, σε διάφορες πηγές ,έναν ορισμό που να χαρακτηρίζει την ένωση των δύο αυτών ειδών, στάθηκε αδύνατο να βρούμε μια ακριβή διατύπωση. Ίσως τελικά, ο όρος Μαθηματική Λογοτεχνία να σημαίνει τη δημιουργία έργων, που μέσα από το λογοτεχνικό είδος αναφέρονται, αφηγούνται ή αποβαίνουν στα μαθηματικά. Έργα που προβάλλουν τη συνεργασία και το συναγωνισμό των δύο εννοιών.

Tα μαθηματικά στη ζωγραφική και στην αρχιτεκτονική

Αν και τα μαθηματικά και η ζωγραφική είναι δύο έννοιες διαφορετικές μπορούν να συνδυαστούν και να δώσουν εντυπωσιακές και αξιοθαύμαστες δημιουργίες. Ιστορικά, μολονότι τα μαθηματικά θεωρούνται κυρίως λογική έχουν παίξει σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της τέχνης που απευθύνεται στο συναίσθημα.

Τα μαθηματικά και η ζωγραφική συναντώνται αρχικά στην τεχνική του κυβισμού. Ο όρος χρησιμοποιήθηκε πρώτη φορά ως κοροϊδευτικό σχόλιο για έναν πίνακα του Μπρακ με σπίτια που έμοιαζαν με κύβους. Οι κύριοι εκπρόσωποι του, ο Πικάσσο (1881 - 1973) και ο Μπρακ (1882 - 1963), αντλούν τα πρότυπά τους από την αυστηρά γεωμετρική αφρικανική τέχνη, αλλά και από την πορεία του Cezanne, στο έργο του οποίου μελετούν και εξετάζουν τη χρήση της δομής μορφής, για να φτάσουν σε μια νέα λογική απόδοση των πραγμάτων, η οποία βασίζεται στην απλοποίηση και τη γεωμετρική διάσπαση των αντικειμένων. Επειδή, αυτοί οι δύο καλλιτέχνες συνεργάστηκαν πολύ καιρό, μερικά από τα έργα τους δεν μπορούμε να ξεχωρίσουμε ποιος από τους δύο το ζωγράφισε.



Ο Κυβισμός γεννήθηκε ουσιαστικά με το έργο του Πικάσσο, «Δεσποινίδες της Αβινιόν», που ζωγράφισε ανάμεσα στο 1906 και στο 1907. Σ’ αυτό τον πίνακα ο συμβολισμός του 1906 συνυπάρχει με τη νέα πλαστική, που σηματοδοτεί την αρχή των κυβιστικών αναζητήσεων. Ο ζωγράφος προσπάθησε, μέχρι το τέλος του 1907, να βρει με ποιες τροποποιήσεις θα μπορούσε να δώσει στο έργο μεγαλύτερη ομοιογένεια, αλλά έκρινε ότι τα αποτελέσματα της προσπάθειάς του δεν ήταν ικανοποιητικά και ο πίνακας διατήρησε την αρχική του μορφή.



Τα θέματα του κυβισμού είναι κυρίως νεκρή φύση, μουσικά όργανα, μπουκάλια, ποτήρια, τραπεζάκια παρισινών καφέ, αφού δεν τους ενδιέφερε ούτε η απεικόνιση ούτε η αφήγηση αλλά η διανοητική απόδοση των πραγμάτων, η ανάλυση της φόρμας, του χρώματος και του φωτός. Τα έργα του χαρακτηρίζονται επίσης απ’ τη ρυθμική σύνθεσή τους πάνω σε γεωμετρικές χαράξεις και από το σκούρα χρωματισμό γκρι και ώχρας ο οποίος κυριαρχεί. Παρ’ όλο που μπορεί ο κυβισμός να φαίνεται αφηρημένη και γεωμετρική τέχνη, απεικονίζει υπαρκτά αντικείμενα. Οι κυβιστές ζωγράφοι αναζήτησαν καινούργιες σχέσεις ανάμεσα στη πραγματικότητα και στη ψευδαισθητική της αναπαράσταση και έτσι αρνούνται να ‘εξαπατήσουν’ το μάτι και να παρουσιάσουν τα πράγματα ‘’σαν πραγματικά’’. Αφού η ζωγραφική επιφάνεια είναι δισδιάστατη, κάθε ψευδαισθητική παράσταση βάθους είναι ψευδής. Ψευδής όμως ή ελλιπής είναι και η παρουσίαση ενός αντικειμένου μόνο από τη μία του όψη. Το αντικείμενο έχει ταυτόχρονα μπρος, πίσω, μέσα και έξω.

Ουσιαστικά αυτή η επίθεση κατά της οπτικής πραγματικότητας είναι η συνέπεια της διαπίστωσης ότι τα αντικείμενα κι ο φυσικός κόσμος δεν εξαντλούνται μόνο με το εξωτερικό τους, αφού τα αντικείμενα περισσότερο κρύβουν παρά αποκαλύπτουν την ουσία των πραγμάτων. Έτσι στον κυβισμό περιέχονται η κίνηση κι ο χρόνος, ενώ το αντικείμενο απεικονίζεται όχι όπως φαίνεται πραγματικά αλλά όπως υπάρχει στο πνεύμα του παρατηρητή, ή μάλλον δίνονται τόσα στοιχεία, όσα χρειάζονται για να αναγνωρισθεί με τις προσλαμβάνουσες παραστάσεις και τις γνώσεις που έχει για αυτό ο παρατηρητής.

Λίγα χρόνια αργότερα ανεξάρτητα από την τεχνική του κυβισμού δραστηριοποιείται ο διάσημος Ισπανός σουρεαλιστής ζωγράφος Salvator Dali (1904 -1982) ο οποίος χρησιμοποίησε στους πίνακές του σχέδια με έντονα γεωμετρικά και τοπολογικά στοιχεία. Σε πολλά έργα του ο Dali απεικόνισε τον τετραδιάστατο χώρο στο χώρο των δύο διαστάσεων.



Για παράδειγμα, στο έργο «Σε αναζήτηση της τέταρτης διάστασης» υπάρχουν στοιχεία τοπολογίας και τετραδιάστατης γεωμετρίας, έτσι που ο πίνακας φαίνεται να κινείται γύρω από μια υπερσφαίρα. Ο Νταλί εργάστηκε με όλα τα μέσα, αφήνοντας πίσω του ένα πλούσιο υλικό, αποτελούμενο από ελαιογραφίες, σχέδια, υδατογραφίες, γραφικά, κοσμήματα και αντικείμενα κάθε είδους. Ο ίδιος έλεγε για το έργο του: «Η δουλειά μου δεν είναι παρά μια αντανάκλαση, αυτών που καταφέρνω, αυτών που γράφω και σκέφτομαι. Όλη η ζωγραφική μου είναι ένα ψήγμα της συνολικής κοσμογονίας μου».

Όταν όμως αναφερόμαστε στον όρο «μαθηματική τέχνη» το μυαλό μας πηγαίνει κυρίως στον Ολλανδό καλλιτέχνη Maurits Cornelius Escher (1898 - 1972), που δημιούργησε μοναδικά και συναρπαστικά έργα τέχνης βασισμένα σε μαθηματικές ιδέες. Έτσι, ο Escher δίκαια ονομάστηκε πατέρας της μαθηματικής τέχνης. Χωρίζοντας το επίπεδο με κυματιστές σειρές πουλιών, ψαριών, ερπετών, θηλαστικών και ανθρώπων κατάφερε να δημιουργήσει μεγάλη ποικιλία καταπληκτικών εικόνων, οι οποίες βασίζονται σε νόμους της συμμετρίας, της θεωρία συνόλων, της προοπτικής, της τοπολογίας και της κρυσταλλογραφίας. Τα έργα του είναι λιθογραφίες, ξυλογλυφίες, ξυλογραφίες και χαλκογραφίες.

Όμως, ο Escher είναι περισσότερο γνωστός στους κρυσταλλογράφους για την πετυχημένη ψηφιδωτή τέχνη με την οποία χωρίζει το επίπεδο. Ακόμα κατά τη διάρκεια της δουλείας του δημιούργησε πολλά έργα με αντανακλάσεις, με κρυστάλλινα σχήματα και με σφαίρες. Οι περισσότεροι πίνακες του είναι ασπρόμαυροι χωρίς όμως αυτό να επηρεάζει την καλλιτεχνική και μαθηματική τους αξία. Στην προσπάθεια να κατανοήσουμε την ιδιαίτερη τέχνη του Escher αξίζει να αναφερθούμε πιο αναλυτικά στους σημαντικότερους πίνακες του.



Στη «Σχετικότητα» ασκούνται τρεις δυνάμεις της βαρύτητας και συνδέονται η μια με την άλλη. Τα τρία επίπεδα της γης διαπερνούν το κάθε επίπεδο από τη δεξιά γωνία. Είναι απίθανο στο φυσικό περιβάλλον διαφορετικών επιπέδων να περπατάς ή να κάθεσαι ή να στέκεσαι γιατί υπάρχει διαφορετικη αντίληψη στο τι είναι οριζόντια και στο τι είναι κάθετα. Παραδόξως οι άνθρωποι μοιράζονται το ίδιο χώρο και τις ίδιες σκάλες.

Σ’ έναν πίνακα με πολλές συμμετρίες στην «Μέρα και Νύχτα» το γκρίζο ορθογώνιο φόντο αναπτύσσεται προς τα πάνω σε σκιαγραφήματα (ή περιγράμματα) των άσπρων και μαύρων πουλιών· τα μαύρα πετάνε προς τα αριστερά και τα άσπρα προς τα δεξιά, με έναν αντίθετο σχηματισμό. Στα αριστερά της εικόνας τα άσπρα πουλιά πέρασαν από εκεί μαζί και μετέβαλλαν το ύφος της πλευράς σε έναν ουρανό μέρας που έχει πολύ φως. Τη δεξιά πλευρά, τα μαύρα πουλιά τη σβήνουν μαζί και τη μετατρέπουν σε νύχτα. Το ημερήσιο και το νυχτερινό τοπίο είναι καθρέφτες της εικόνας της κάθε πλευράς με τη βοήθεια του ανοιχτού και σκούρου γκρι. Παρατηρήστε, επίσης, ότι κοιτώντας τον πίνακα από πάνω προς τα κάτω, τα πουλιά μετατρέπονται σε χωράφια

Στον πίνακα «Ερπετά» φαίνεται η κυκλική ζωή ενός αλιγάτορα. Μεταξύ όλων των ειδών των αντικειμένων, ένα μπλοκ ζωγραφικής στο οποίο ξεχωρίζει η ζωγραφισμένη εικόνα μιας μορφής μωσαϊκού ερπετού. Ένα απ’ αυτά κουράζεται αυτό το επιπεδικό ψέμα ξεφεύγει παιχνιδιάρικα από τη φυλακή των δύο διαστάσεων και βγαίνει στις τρεις διαστάσεις, δηλαδή στη κανονική ζωή. Μετά αφού σκαρφάλωσε στα αντικείμενα που βρισκόταν γύρω του κουράστηκε και ξανά έπεσε στη ζωγραφισμένη εικόνα.

Σ' έναν άλλον ιδιαίτερο πίνακά του στο «Χέρι με σφαιρική αντανάκλαση» φαίνεται το χέρι του ζωγράφου που κρατάει μία μπάλα και αντανακλά πάνω του. Σ’ αυτό το καθρέφτη σχηματίζεται μια πιο ολοκληρωμένη θέα απ’ αυτά που τον περιβάλλουν απ’ ότι σε έναν ίσιο καθρέφτη. Υπάρχουν τέσσερις τοίχοι, ένα πάτωμα και ένα ταβάνι στο δωμάτιο. Το κεφάλι του και πιο συγκεκριμένα το σημείο που είναι ανάμεσα στα μάτια του, βρίσκεται ακριβώς στο κέντρο της σφαίρας. Όπως και να γυρίσει τον σφαιρικό καθρέπτη ο ίδιος παραμένει στο κέντρο. Το εγώ του είναι ο σταθερός πυρήνας του κόσμου του.

Η δουλειά του Escher πέρασε σχεδόν απαρατήρητη μέχρι τη δεκαετία του 1950, αλλά μέχρι το 1956 είχε κάνει τη πρώτη του σημαντική έκθεση, είχε γράψει γι’ αυτόν το περιοδικό Times, και είχε αποκτήσει παγκόσμια φήμη. Ανάμεσα στους μεγαλύτερους θαυμαστές του ήταν και μαθηματικοί, οι οποίοι αναγνώριζαν στη δουλειά του μια εκπληκτική απεικόνιση των μαθηματικών αρχών. Το πιο σημαντικό πράγμα ήταν ότι ο Escher δεν είχε επίσημη μαθηματική εκπαίδευση πέραν του γυμνασίου. Όσο η δουλειά του εξελισσόταν, αντλούσε μεγάλη έμπνευση από τις μαθηματικές ιδέες για τις οποίες διάβαζε, συχνά δουλεύοντας απ’ ευθείας από δομές της επιπεδομετρίας και προβολικής γεωμετρίας. Επίσης τον συνάρπαζαν τα παράδοξα και «αδύνατα» σχήματα, και αυτό τον βοήθησε να δημιουργήσει πολλά περίεργα έργα τέχνης. Έτσι, για ένα φοιτητή των μαθηματικών ο Escher περικλείει δύο τομείς: τη γεωμετρία του χώρου και αυτό που θα μπορούσαμε να αποκαλέσουμε «λογική του χώρου».

Γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι ο Escher γοητευόταν από κάθε είδους ψηφιδώσεις - συμμετρικές και μη - και απολάμβανε ιδιαιτέρως αυτές που αποκαλούσε «μεταμορφώσεις» στις οποίες τα σχήματα άλλαζαν και αλληλεπιδρούσαν μεταξύ τους, και μερικές φορές απελευθερώνονταν βγαίνοντας από την επιφάνεια. Οι περισσότερες ψηφιδώσεις είναι ασύμμετρα πολύγωνα που διαιρούν τις επιφάνειες



Ο Escher εκμεταλλεύτηκε αυτά τα βασικά σχέδια στις ψηφιδώσεις του εφαρμόζοντας αυτό που οι γεωμέτρες θα αποκαλούσαν αντανακλάσεις, κυλιόμενες αντανακλάσεις, μεταφορές και περιστροφές. Αυτό το έκανε για να αποκτήσει μεγαλύτερη ποικιλία σχεδίων. Επίσης, έκανε αυτά τα σχήματα πιο περίπλοκά, «διαστρεβλώνοντας» τα και μεταμορφώνοντάς τα σε ζώα, πουλιά και άλλες μορφές. Αυτές οι διαστρεβλώσεις έπρεπε να υπακούουν στην τριπλή, τετραπλή ή εξαπλή συμμετρία (δηλαδή αυτές η συμμετρίες προέρχονται από τα τρίγωνα, τετράγωνα και εξάγωνα) του βασικού σχήματος έτσι ώστε να διατηρηθεί η ψηφίδωση. Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι και εντυπωσιακό και όμορφο.

Ο ίδιος ο Escher υποστήριζε : «Αν μου δίνουν μεγαλύτερη χαρά οι δικές μου μικρές εικόνες απ’ ότι η ωραιότερη φωτογραφική μηχανή στον κόσμο τότε ίσως είμαι στο σωστό δρόμο.»

Εκτός από τη ζωγραφική μεγάλη είναι η συνεισφορά των μαθηματικών σε ποικίλες μορφές της ζωής και της τέχνης.

Αξίζει, για παράδειγμα να ασχοληθούμε με έναν από τους πιο διάσημους αριθμούς. Τον αριθμό Φ, ο οποίος είναι γνωστός ως «λόγος της χρυσής τομής». Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να χωρίσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο άνισα μέρη, κατά τρόπο ώστε η αναλογία του συνολικού του μήκους προς το μήκος του μεγαλύτερου μέρους να ισούται με την αναλογία του μήκους του μεγαλύτερου μέρους προς το μήκος του μικρότερου, στο σχήμα μας δηλαδή, θέλουμε ο λόγος ΑΓ δια ΑΒ να ισούται με το λόγο ΑΒ δια ΒΓ. Η τομή στο Β, η "χρυσή τομή" δηλαδή, είναι εκείνη η οποία επιτυγχάνει το αποτέλεσμα αυτό, και στη μοναδική αυτή χρυσή τομή ο λόγος ΑΓ/ΑΒ και ΑΒ/ΒΓ ισούται πάντοτε (ανεξάρτητα φυσικά από το μήκη των εκάστοτε ευθύγραμμων τμημάτων) με 1,62 δηλαδή με το Φ.



Την αρμονικότητα που αποπνέει ο αριθμός Φ τη γνώριζαν και την αξιοποίησαν ποικιλοτρόπως οι αρχαίοι Έλληνες, φτάνοντας την στο έπακρο με τη σύλληψη της αρχιτεκτονικής του Παρθενώνα, οι αναλογίες του οποίου βασίζονται στο Φ.



Το Φ έχει, επίσης συσχετιστεί, περισσότερο ή λιγότερο άμεσα, με πλήθος φυσικών μεγεθών, φαινομένων ή ανθρώπινων εκδηλώσεων, όπως πχ με τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος, την πορεία του δείκτη τιμών των χρηματιστηρίων και άλλων χαοτικών φαινομένων, τις τροχιές των πλανητών γύρω από τον Ήλιο, το σχήμα των πιστωτικών καρτών, τη γεωμετρική δομή των κρυστάλλων, τις χρωματικές και σχεδιαστικές αναλογίες έργων μεγάλων ζωγράφων όπως ο Leonardo da Vinci, τους βιορυθμούς του ανθρώπινου σώματος και τον καρδιακό ρυθμό, τα σωματικά χαρακτηριστικά διαφόρων ζώων, τη σταθερά Feigenbaum της Χαολογίας, τα θεολογικά κείμενα διαφόρων θρησκειών και πολλά άλλα ακόμη.

Χαρακτηριστική είναι επίσης η σχέση μεταξύ μαθηματικών και αρχιτεκτονικής. Η πυραμίδα του Χέοπα, για παράδειγμα είναι μια τεράστια δομή που συμβολίζει το Ιερό Βουνό και τον παγκόσμιο αγώνα της ανθρωπότητας να φτάσει στον ουρανό. Είναι η "εικόνα του κόσμου" και περιέχει τις τέσσερις κατευθύνσεις του διαστήματος. Πέρα από την αρχιτεκτονική μοναδικότητα και μεγαλείο, η μεγάλη πυραμίδα θεωρείται από εσωτεριστικές πηγές ως ένα σύμβολο που περικλείει μυστηριώδεις αναλογίες και αριθμούς που κωδικοποιούν τα μυστήρια του Κόσμου.



Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζουν και οι οικοδομικές κατασκευές των Ινδιάνων. Τα περισσότερα οικοδομήματα έχουν βρεθεί στις ανατολικές ΗΠΑ. Και τα περισσότερα είναι κωνικά. Συνήθως πρόκειται για κόλουρες τετράπλευρες πυραμίδες. Η πιο μεγάλη -ύψους γύρω στα 30 μέτρα και με βάση γύρω στα 210 μέτρα - βρίσκεται στο Ιλινόις. Η Γεωμετρία των ιθαγενών Ινδιάνων της Β. Αμερικής είναι μια φυσική, αναλογική γεωμετρία που δημιουργείται από τον απλό κύκλο. Αρχιτεκτονικά και εικονογραφικά στοιχεία, αποδεικνύουν ότι ήταν μια κοινή παράδοση που μεταβιβάζονταν και έβρισκε εφαρμογή για τουλάχιστον 2.000 χρόνια. Πρόκειται για τον ίδιο τύπο γεωμετρίας που ανακαλύφθηκε και αναπτύχθηκε σε διάφορα σημεία της υφηλίου, απ' την Κίνα και τη λεκάνη της Μεσογείου μέχρι και τα Βρετανικά νησιά.

Πολύ αργότερα το χαρακτηριστικότερο "μαθηματικό" παράδειγμα στην αρχιτεκτονική της Αναγέννησης είναι ο Palladio, ο οποίος χρησιμοποίησε αρμονικές αναλογίες για την τρισδιάστατη χάραξη των δωματίων στις σπουδαιότερες βίλλες του. Ξεχώρισε επτά ιδανικές μορφές δωματίων: Το κυκλικό, το τετράγωνο, και άλλες πέντε μορφές, με αναλογίες πλευρών, διαγωνίων και συνδυασμούς τετραγώνων.

Στις μέρες μας η αρχιτεκτονική και τα μαθηματικά συμβαδίζουν. Χαρακτηριστικότερο παράδειγμα είναι τα κυβιστικά σπίτια που κοσμούν μεγάλες ευρωπαϊκές πόλεις όπως η Πράγα, το Ρότερνταμ και άλλες. Επίσης, τα μεγάλα σύγχρονα αρχιτεκτονικά οικοδομήματα σε όλο τον κόσμο βασίζονται σε βασικές μαθηματικές έννοιες όπως τα κανονικά πολύγωνα, η τριγωνομετρία και οι συμμετρίες.



Είναι περίεργο πως παρατηρώντας τις καλές τέχνες μέσα από τα μαθηματικά όχι μόνο δεν διακρίνεις ένα πολύπλοκο κόσμο με δυσνόητες εξισώσεις, αλλά αντίθετα ανακαλύπτεις ένα κόσμο φαντασίας, ένα κόσμο μαθηματικών και ένα κόσμο της αληθινής μας ζωής. Ο Picasso και ο Brucke, o Dali και ο Escher και πολλοί άλλοι δημιούργησαν τέχνη χρησιμοποιώντας μαθηματικά. Μήπως και τα ίδια τα Μαθηματικά είναι τέχνη;

Μαθηματικά - Μουσική

Τα μαθηματικά και η μουσική είναι δυο επιστήμες που έχουν πολύ μεγάλη σχέση μεταξύ τους. Από την αρχαιότητα ακόμη οι δύο τέχνες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και η αλληλεπίδραση αυτή φτάνει ως τις μέρες μας. Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής - σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο.

Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται, που από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου με βραχίονα, δηλαδή χέρι. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα, όπως ο Αρχύτας (εργάσθηκε στις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο και ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος), ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (σ' αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του "κόμματος του Διδύμου", που είναι η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9) δηλαδή 81/80).



Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο. Εύκολα λοιπόν οι Πυθαγόρειοι κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τα μαθηματικά κυβερνούν τη μουσική ή και ότι, ως ένα βαθμό, η μουσική κυβερνά τα μαθηματικά . Για τους Πυθαγορείους, αυτή η άμεση και ακριβής σχέση μαθηματικών, μουσικής και ευχάριστου ψυχικού συναισθήματος αποτελούσε τη μέγιστη απόδειξη ότι η αλήθεια, στο ύψιστο επίπεδό της, εκφράζεται με μαθηματικές σχέσεις. Πίστευαν, μάλιστα, ότι η ψυχή, μέσα από τα μαθηματικά και τη μουσική, μπορούσε να εξυψωθεί ώσπου να ενωθεί με το σύμπαν και ότι ορισμένα μαθηματικά σύμβολα έχουν αποκρυφιστική σημασία. Η εμμονή των Πυθαγορείων στους ρητούς αριθμούς ήταν εκείνη που περιόρισε τους ορίζοντές τους και τους οδήγησε στο συμπέρασμα ότι ο κόσμος που μας περιβάλλει είναι δομημένος με βάση την τέλεια αρμονία των πάντων. Ωστόσο, στις αρχές της αρμονίας των Πυθαγορείων βασίστηκε η ευρωπαϊκή μουσική μέχρι, τουλάχιστον, τη στιγμή που ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ, μέσω της σύνθεσής του "Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο" πρότεινε την υποδιαίρεση της οκτάβας σε δώδεκα ημιτόνια.

Η μουσική των σφαιρών

Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι πλανήτες (σφαίρες), καθώς ταξιδεύουν στον ουρανό, παράγουν μουσική λόγω της τριβής τους με το γαλαξιακό αιθέρα. Πίστευαν, συγκεκριμένα, ότι η Γη αποτελεί το κέντρο του σύμπαντος και ότι κάθε πλανήτης παράγει τις δικές του νότες, ανάλογα με την απόστασή του από τη Γη. Παράλληλα, διαπίστωναν ότι η μελωδία του σύμπαντος είναι τόσο ξεχωριστή, ώστε τα απλοϊκά αφτιά μας δεν μπορούν να την ακούσουν. Ωστόσο, πρόκειται για μια μουσική με τόση ισχύ, ώστε να καθορίζει όλους τους κύκλους της ζωής, από τις τέσσερις εποχές μέχρι τα καιρικά φαινόμενα.

Το μονόχορδο του Πυθαγόρα

Όμως, πώς ακριβώς πειραματίστηκαν οι Πυθαγόρειοι στο μονόχορδο για την ανάδειξη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής; Αν μειώσουμε το μήκος μιας χορδής ακριβώς στο μισό, τότε ο ήχος που παράγεται είναι ακριβώς μία οκτάβα υψηλότερος (μία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι, ντο) - μας δίνει, δηλαδή, ένα ντο πιο πάνω. Αν μειώσουμε το μήκος της χορδής κατά 1/3, τότε τα 2/3 της χορδής που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της πέμπτης (δηλαδή από το ντο στο λα). Κι αν μειώσουμε το μήκος κατά 1/4, τότε τα 3/4 που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της τετάρτης (από το ντο στο σολ). Ήταν ξεκάθαρο, λοιπόν, σ’ αυτό το επίπεδο της παρατήρησης ότι τα μαθηματικά "κυβερνούν" τη μουσική. Το γεγονός ότι από τους ήχους αυτών των διαφορών δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής.




Ο Αριστόξενος, νεότερος του Πυθαγόρα υπήρξε φιλόσοφος και σημαντικότατος θεωρητικός της μουσικής και του δόθηκε μάλιστα η ονομασία ο μουσικός. Η μέθοδος του ήταν κυρίως εμπειρική. Το σύστημα διδασκαλίας του βασίζεται σε αντίθεση με τον Πυθαγόρα, στην ικανότητα του αυτιού να αντιλαμβάνεται την αρμονική σχέση των μουσικών τόνων. Δεν ερευνά τις αριθμητικές σχέσεις μέσα στην οκτάβα, όμως καθορίζει τον ολόκληρο και τον μισό τόνο και κατασκευάζει μια κλίμακα με βάση το 1/12 του τόνου.

Ο Ευκλείδης από την άλλη, έχει μια γεωμετρική πρόταση για τα μουσικά διαστήματα.

Θεωρεί ότι αντιστοιχούν σε ευθείες γραμμές, με μία όμως διάφορα, ενώ οι ευθείες γραμμές που παράγονται ως αριθμοί ορίζονται με δύο γράμματα ένα στην αρχή και ένα στο τέλος τους, τα μουσικά διαστήματα δηλώνονται με ένα γράμμα.




Η Γεωμετρική πρόταση του Ευκλείδη για τα μουσικά διαστήματα

Στη σημερινή πραγματικότητα, τόσο η μουσική θεωρία, όσο και η μουσική πράξη, ερμηνεύονται με φυσικούς νόμους, που με τη σειρά τους διατυπώνονται με μαθηματικές σχέσεις. Στην ακουστική (στον ιδιαίτερο κλάδο της φυσικής που έχει ως αντικείμενο τον ήχο και τις ιδιότητές του) ένα μουσικό διάστημα εκφράζεται σαν ο λόγος δύο συχνοτήτων. Σε ορισμένες περιπτώσεις ο λόγος είναι απλής μορφής όπως για παράδειγμα οι γνωστοί μας λόγοι της καθαρής πέμπτης (3/2), της καθαρής τετάρτης (4/3), της οκτάβας (2/1) κ.λ.π. Σε άλλες περιπτώσεις, ελλείψει μεγίστου κοινού διαιρέτη, οι όροι του λόγου είναι μεγάλοι αριθμοί όπως στο διάσχισμα (2048/2025). Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι είναι δύσκολη, αν όχι αδύνατη, η σύγκριση δύο μουσικών διαστημάτων.

Η απλούστευση στην παράσταση των μουσικών διαστημάτων επήλθε με τη βοήθεια της λογαριθμικής σχέσης :

μέγεθος μουσικού διαστήματος = k * log(f2/f1)/log2

στην παραπάνω σχέση, όπου f1, f2 οι συχνότητες των φθόγγων του μουσικού διαστήματος και f2>f1. Το k είναι μια σταθερά η τιμή της οποίας καθορίζει και ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων.

Συγκερασμοί για τα μουσικά διαστήματα

Ανάλογα με τις τιμές της σταθεράς k (οι οποίες αφορούν διαίρεση της οκτάβας σε τόσα τμήματα όσο η αντίστοιχη τιμή), έχουμε κι ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Οι πιο γνωστές και χαρακτηριστικές τιμές της σταθεράς k, αναφέρονται στη συνέχεια.





Ρυθμός - Αριθμός

Ο ρυθμός και η Αρμονία είναι οι δύο βασικές συνιστώσες κάθε μουσικής έκφρασης. Ο ρυθμός είναι η πρώτη μουσική κατάκτηση για τον άνθρωπο, όπως ακριβώς ο αριθμός είναι η πρώτη, η θεμελιώδης Μαθηματική κατασκευή. Ο ρυθμός και ο αριθμός έχουν κοινή καταγωγή, την οποία έλκουν από την κατάτμηση του χρόνου και την 1-1 αντιστοιχία των χρονικών στιγμών με γεγονότα.

Η σύγχρονη αντίληψη για την αρμονία προκύπτει μέσα από τη χρήση ενός ισχυρότατου Μαθηματικού "εργαλείου", της ανάλυσης Fourier.

Ο Ανθρωπολόγος G. Murdock(1986) αναφέρει πως υπάρχουν 72 στοιχεία που είναι κοινά σε όλους τους πολιτισμούς, μεταξύ δε αυτών είναι τα σύμβολα της αρίθμησης και η μουσική.

Το αρχαιότερο εύρημα που έχει σχέση με τις μουσικές συνήθειες των ανθρώπων έχει ηλικία 35.000 χρόνων και είναι οστά από μαμούθ τα οποία, κατά τους αρχαιολόγους, χρησιμοποιήθηκαν για την παραγωγή ήχων προφανώς ρυθμικών. Ο ρυθμός, λοιπόν, είναι το πρώτο είδος μουσικής που χρησιμοποίησε ο άνθρωπος.

Στο χώρο των Μαθηματικών τώρα, η πρώτη Μαθηματική έννοια που είχε αρχίσει από νωρίς να κατασκευάζεται στο νου του ανθρώπου ήταν αυτή του αριθμού.

Σήμερα οι δύο αυτές έννοιες συνυπάρχουν στον τρόπο με τον οποίο γράφεται η Δυτική μουσική. Ας δούμε ένα παράδειγμα:



Στο σχήμα φαίνεται ένα μέρος ενός μουσικού κομματιού. Η χρονική αξία του πρώτου και δεύτερου συμβόλου είναι 1/4 και 1/2 αντίστοιχα, ενώ κάθε ένα από τα σύμβολα (νότες) που είναι ενωμένα έχουν εξ ορισμού αξία 1/8. Το κλάσμα 4/4 στην αρχή καθορίζει πως κάθε μέτρο, κάθε διάστημα δηλαδή το οποίο περιέχει μία μουσική φράση, πρέπει να περιέχει σύμβολα (νότες) συνολικής αξίας 4/4. Πράγματι 1/4+1/2+1/8+1/8=4/4. Τώρα πλέον ο αριθμός καθορίζει το ρυθμό και επιτρέπει να εκτελείται ένα μουσικό κομμάτι συγχρονισμένα από τους μουσικούς.

Η πορεία προς τις σύγχρονες αντιλήψεις.

Τα όσα περιγράψαμε μέχρι τώρα θα μπορούσαν να αναπαρασταθούν στο παρακάτω σχήμα:



Ο δρόμος για νέες τεχνολογικές εφαρμογές ανοίγει και επηρεάζει τον τρόπο κατασκευής μουσικών οργάνων και αυτό έχει σαν αποτέλεσμα τη στροφή των επιστημόνων προς τη μελέτη παλμικών κινήσεων. Η στροφή αυτή είναι καταλυτική για την έρευνα των Μουσικών φαινομένων η οποία προσανατολίζεται πλέον προς τη μελέτη του τρόπου παραγωγής των ήχων ενώ, όπως είδαμε, οι Πυθαγόρειοι ασχολήθηκαν με τις αριθμητικές σχέσεις των ήχων.

Βρισκόμαστε στα μέσα περίπου του 17ου αιώνα. Η μελέτη των παλμικών κινήσεων οδηγεί στην συγκρότηση της μαθηματικής έννοιας των περιοδικών φαινομένων και η Τριγωνομετρία στρέφεται πλέον από την παραδοσιακά υπολογιστική της στάση σε μια περισσότερο αναλυτική θεώρηση.

Στο σημείο αυτό θα κάνουμε δύο σημαντικές επισημάνσεις:

1. Ο Πυθαγόρας μελέτησε τον ήχο που παράγεται από μια χορδή χωρίς να συνυπολογίσει τις παραμέτρους της τάσης και της μάζας της χορδής αφού τα Μαθηματικά εργαλεία της εποχής του δεν επέτρεπαν κάτι τέτοιο.

2. Διάσημοι Μαθηματικοί όπως ο Euler, o D'Alembert και ο Langrange επιχείρησαν να λύσουν της εξίσωση της παλλόμενης χορδής. Ο Daniel Bernoulli βρήκε μια λύση μέσω μιας σειράς τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αυτός όμως που ανέδειξε τη γενική λύση του προβλήματος της παλλόμενης χορδής ήταν ο Fourier το έτος 1822 με το έργο του "Theorie analytique de la chaleur".

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η καμπύλη που παράγεται από τη νότα Ρε ενός φλάουτου καθώς και οι αρμονικές της συνιστώσες χρησιμοποιώντας Τριγωνομετρικές σχέσεις.



Η νότα Ρε όπως παράγεται από ένα φλάουτο.

Παρατηρούμε ότι οι αρμονικές είναι μόνο 3 γι' αυτό ο ήχος του φλάουτου είναι τόσο απλός.

Σύγχρονοι Συνθέτες

Η πρώτη μαθηματική αναφορά στη μουσική ανιχνεύεται ήδη το 1925 στη Λυρική σουίτα του A. Berg, όπου ο συνθέτης στηρίζει τη δομή του έργου του στον μαγικό αριθμό 23 που προσδιορίζει το μέγεθος των κινήσεων, τις ενδείξεις του μετρονόμου ακόμα και σε μερικά σημεία τον αριθμό των φθόγγων των συγχορδιών.


Μετά το τέλος του Β' Παγκοσμίου πολέμου, και κατά την αρχή του δεύτερου μισού του 20ου αιώνα, συνθέτες όπως ο Karlheinz Stockhausen, ο Ιάνης Ξενάκης, o Les Paul, o Edgar Varese και άλλοι άρχισαν να χρησιμοποιούν στις συνθέσεις τους ηλεκτρονική μουσική. Έτσι αναπτύσσονται νέες μέθοδοι για την ηλεκτρονική παραγωγή και επεξεργασία του ήχου.

Η ιδιαίτερη σημασία στο έργο του Ι. Ξενάκη έγκειται όχι απλώς στο ότι αποτέλεσε με ένα δικό του προσωπικό τρόπο μέρος της παγκόσμιας μουσικής πρωτοπορίας ήδη από το 1954, με τη σύνθεση του έργου «Μεταστάσεις», αλλά κυρίως στο ότι με ένα σύνολο καινούργιων αντιλήψεων τόσο ως προς την οργάνωση του ηχητικού φαινομένου, αλλά και με την επαναστατική ανακάλυψη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής, άνοιξε τρομερούς νέους ορίζοντες στη δεδομένη μέχρι τότε, σκηνή της μουσικής σύνθεσης.

Η μουσική είναι ένα ποιοτικό φαινόμενο όπως η αίσθηση του ωραίου, της ανάμνησης και της λήθης, του ευχάριστου και του δυσάρεστου. Η ιστορία του Δυτικού κόσμου συνδέεται άμεσα, τους τρεις τελευταίους αιώνες, με την προσπάθεια υπαγωγής όλων των ποιοτικών φαινομένων σε ποσότητες εφόσον έτσι γίνονται τα φαινόμενα αυτά ελέγξιμα, ερμηνεύσημα αντικειμενικά. Κάθε εσωτερική αίσθηση μπορεί πλέον να γίνει εικόνα, να βγει στο χώρο. Η αίσθηση του κόκκινου χρώματος οφείλεται σε κάποιο μήκος κύματος της ορατής ακτινοβολίας και οι νότες γίνονται καμπύλες κινούμενες σε έναν παλμογράφο. Ένας συνεχής μετασχηματισμός συντελείται ο οποίος μεταμορφώνει το υποκειμενικό σε αντικειμενικό και ο καταλύτης σε αυτόν το μετασχηματισμό φαίνεται πως είναι τα Μαθηματικά.

Πηγή: Εργασία των μαθητών της Γ' Γυμνασίου του Μουσικού σχολείου Κομοτηνής, 2005-2006

Αναρτήθηκε από:

Τρέλα είναι απλά μια άλλη μορφή της συνείδησης 

Matematiksel Edebiyat: Sihirli Kombinasyon mu, Ütopya mı? Matematiksel literatür ifadesini duymak kesinlikle kafa karıştırıcıdır. Matematik ve edebiyatı ilişkilendirmek çelişkili bir girişim gibi görünüyor. Ama biraz daha iyi düşünürse, belki de yeni bir çerçeveye gömülü karmaşık denklemleri hayal etmeye başlar. Ancak bu matematik literatürü de değildir. Fakat pratikte matematik ve edebiyat nasıl ilişki kurmayı başarır? İki kavramın tanımları bize onları ayıran büyük farklılıkların ilk resmini verir. Matematik: Tümdengelimli hesaplamalar yoluyla soyut kavramların özelliklerini ve aralarında var olan ilişkileri incelediğimiz kurallar dizisi. Descartes'a göre, "amaçları düzen ve büyüklük arayışı olan tüm bilimler matematiğe aittir." Sayıların nesneleri saymak için ne zaman kullanıldığı ve bu kullanımın, onun icat ettiği diğer öğelerin kullanımından önce gelip gelmediği bilinmemektedir. numaralandırma için. Edebiyat: Söz sanatı, bir çağın kaygıları ve sorunlarıyla baş edebilme yeteneği, bu yüzden her çağın aynasıdır. Edebiyat güzel sanatlara aittir ve içeriğini hayattan alır, ancak onun bir kopyası veya tasviri değildir. Yazar, konularını zengin gerçeklik ve deneyim dünyasından alır ve kendi anlatım yollarını seçerek, içeriğin biçimi ve içeriğin biçimi belirlediği ayrılmaz bir içerik ve biçim birliği yaratır. Verilerin öznel yargısının, edebiyatı karakterize eden çifte anlamların ve belirsizliğin matematiğin katılığı, açıklığı ve nesnelliği ile nasıl uzlaştırılabileceğini anlamak şöyle dursun, hayal bile edilemez. İlk olarak, antik çağlardan günümüze matematik ve edebiyatın buluştuğu tarihsel anlara değineceğiz, ancak esas olarak modern matematik literatürüne bir yolculuk yapmaya çalışacağız. Akıl ve kalite anlayışını değerlendiren, büyüten ve ona ayak uyduran yeni bir edebi üretim türü. Antik çağlardan günümüze edebi metinler matematikten söz ederken özel bir saygı gösterirler. MÖ 500 kadar erken , eski trajedilerde sayılara atıfta bulunulur (örneğin, Aeschylus'un Prometheus Bound). Ancak edebiyatın matematiğe gösterdiği saygı kadar, matematikçiler için de o kadar çok alay ve ironi gösterir. "Kendi dünyasında" yaşayan marjinal tip "soyut matematikçi" klişeleri, klasik yıllardan (MÖ 415, Ornithes Aristophanes) zaten var olan bir unsurdur. Aristophanes, komik bir şair olarak, aralarında matematikçilerin de bulunduğu çeşitli Atinalı karakterleri hicveder. Ancak hiciv şairi Aristophanes'in işi de herkesle dalga geçmektir. Ancak Platon bile, onlara saygı duyduğu bilinen matematikçiler hakkında fıkralardan bahseder. Böylece, Theaitis diyaloğunda şunları okuruz: SOKRATES: Tıpkı Thales gibi, yıldızlara bakarken bir kuyuya düşen Theodore. Sonra, Trakya'dan güzel ve ruhlu bir kız, göktekileri öğrenmek için büyük şevkinden dolayı önündeki ve ayaklarının arasını görmediğini gözlemleyerek onunla alay ettiğini söylüyorlar. Aynı alay, felsefe yaparak yaşayan herkes için geçerlidir. Nitekim böyle bir insan, komşusunu ve komşusunu, sadece ne yaptığını değil, neredeyse insan mı yoksa başka bir canlı mı olduğunu hiç umursamaz. O, yalnızca insanın ne olduğu ve onu diğer varlıklarınkinden farklı kılan insan doğasında ne olduğu ile ilgilenir. Dünyadaki tüm öğrenciler gibi biz de Thalis ile birkaç kez karşılaştık. Ama profesör her seferinde teoremden bahsetti, asla kişiden, kişiden bahsetmedi. Ne de olsa matematik dersinde insanlarla hiç tartışmadık. Şurada burada bir isim su yüzüne çıktı: Thales, Pisagor, Descartes. Ama bu sadece bir isimdi. Bir peynirin adı ya da bir metro istasyonu gibi. Ne zaman ve ne olduğu hakkında hiç konuşmadık. Matematik formülleri ve ispatlar az önce tahtaya indi. Sanki onları hiç kimse yaratmamış, sanki hep orada olmuşlar, dağlar ve nehirler gibi. Burada da dağların biraz tarihi, biraz başlangıcı vardı. Büyük bir matematikçi olan G.H.Hardy'nin de özür dilediği gibi, teoremlerin dağlardan ve nehirlerden daha zamansız olduğu söylenebilir: "Arşimet, Aeschylus unutulduğunda herkes tarafından hatırlanacak. Çünkü matematiksel doğrular ebedi iken diller ölür. "Ölümsüzlük" kelimesi aptalca bir kelime olabilir, ama eğer bir anlamı varsa, matematikçi bunu herkesten daha fazla iddia ediyor." Ancak matematik ne Tarih, ne Coğrafya, ne de Jeolojidir. Gerçekten nedir? soru değibirçok insanı ilgilendiriyor gibi görünüyor. Thales zamanında, MÖ 6. yüzyılda felsefe ve matematik ayrılmazdı. Sonuçta, kelimelerin kendisi henüz mevcut değildi. Çok daha sonra yaratıldılar ve hatta daha sonra kavramlar ayrıldı. Ama bugün bütün dünya birlikte doğduklarını unutuyor. Ayrıca MS 5. yüzyıla ait edebi bir metne atıfta bulunmaya değer. O zamanın tüm bilimlerine atıfta bulunan yüzyıl. "Hermes ve Filolojinin Evliliği". Tanrı Hermes, Filoloji ile evlenir. Yedi liberal sanat, kendilerini dilemek ve tanıtmak için geçit töreni yapar. Bunların arasında sunumu, çalışmanın 379 sayfasının 58'ini kaplayan Aritmetik ve 60 sayfayı kaplayan Geometri'dir. Daha sonra, bir romanda matematiğin varlığı, "matematiksel olduğu için doğru olduğu garanti edilir, ancak zaten kimse onu anlamıyor" fikriyle yetinir. Başka bir deyişle, doğal yasadışılığın yasallaştırılmasını sağlayan bazı kafa karıştırıcı matematiksel terimler veya formüller kullanılır. Tamamen matematiğe ayrılmış bir edebi esere sahip olmak için 19. yüzyıla kadar beklememiz gerekecek. Abbot'un "düz ülke"si, en düşük sosyal varlıkları düz kesimler olan kadınlar olan iki boyutlu bir dünyayı tanımlar, ancak çok tehlikelidir çünkü uzuvlarıyla Düz Diyar'ın diğer herhangi bir sakinini kolayca öldürebilirler. Sosyal olarak aşağı erkekler üçgendir. Kişi ne kadar yükseğe tırmanırsa, o kadar çok taraf kazanır. Toplumun kreması, dini rahiplik, çevrelerdir. Düz ülkenin sakinlerinden biri olan A. Square, düz ülkede, tek boyutlu bir uzayda olduğunu ve orada yaşayanlara iki boyutu korkunç zorluklarla tarif etmeye çalıştığını hayal eder. Ertesi gün, Horochora'dan gelen ve onu üç boyutlu dünyaya yönlendiren bir küre tarafından Flatland'de ziyaret edilir. Bu kitap, v-boyutlu uzaya en iyi giriştir ve üçten fazla boyutlu uzaylara genişlemeyi görselleştirmeye yardımcı olur. 20. yüzyılın sonunda Matematik Edebiyatının sınıflandırılmasıyla birlikte bugün gerçek bir patlama yaşıyoruz. Bu fenomen, kuşkusuz, halkın matematiğe olmasa da en azından matematiğe olan ilgisinin arttığını göstermektedir. Elbette bu ilgi, matematiğin ilkel huşuna dönüş anlamına gelmeyebilir, ancak kuşkusuz bir meydan okumayı temsil eder. Böylece birinci kategori, ana teması matematik olan romanları içerir, yani kurgu, matematiksel kavramları geliştirmek, hatta öğretmek amacıyla kullanılır. Ian Stewart'ın klasikleşmiş 'Flatland' romanının devamı niteliğindeki 'Flatterland' romanı bu kategoriye giriyor. Macera, kadın kahraman Victoria Line'ın (çizgi), evinin çatı katında, büyük-büyük-büyükbabası Albert Square'in (meydan) kavrulmuş günlüğünü keşfetmesiyle başlar. Vicky, atalarının geniş Üçüncü Boyut evrenine ayak izlerini takip ederek, ebeveynlerinin cehaletinden dolayı Üçüncü Boyut virüsüne yakalanır. Aksiyon ve çevreden "kaçma eğilimi" ile dolu heyecan verici bir hikaye, okuyucuya zaman ve mekan sınırlarını aşan gerçek dışı bir yolculuk sunuyor. Yazar Christos H. Papadimitriou'nun bir başka harika kitabı olan "Turing'in Gülüşü" de aynı kategoriye giriyor. Okuyucuyu matematiğin, felsefenin, bilişimin ve yaşamın gücüyle tanıştıran, yaz macerasının "serin" bir nefesiyle çevrili bir roman. Hayatlarımızı tüm gizemli yönleriyle dönüştüren karşı konulmaz bir güç: aşk, politika, hatta ölüm, incelikli, karmaşık, radikal ve nihayetinde kurtarıcı şekillerde. Denis Guedj'in matematik romanı "Parrot Teoremi"nde bir gizem ve mantık ağı ortaya çıkıyor. Huzursuz, maceralı ve heyecan verici bir hikaye, Paris, seyahatnameler, bir arkadaşın ölümünü çözmeye çalışan bir grup ve konuşkan bir papağan, genellikle onu çevreleyen denklemlere izin veren karmaşıklıklardan çok daha "insan" olan büyülü bir Matematik dünyasını ortaya çıkarır. Daha modern bir roman, Matematik ve günlük hayatımızın birbirine bağlı olduğunu ve bir alanın diğerini bilgilendirdiğini iddia eden John Allen Paulos'un "Bir varmış bir yokmuş" adlı romanıdır. Başka bir deyişle, Paulos dünyada olup biten her şeyin matematiksel olarak tanımlanabileceğini yazar. Bernard Russell ve Grouho Marx arasındaki kurgusal diyalogları kullanarak, Unabomber'ın terör eylemlerinde kullandığı taktiklerin matematiksel zekanın ürünü olduğunu gösteriyor. Pierre de Fermat, 17. yüzyılda okudu. Diophantus "Aritmetik" kitabı ve Pisagor Teoremi üzerinde durdu, not l sayfanın kenarına şu ifadeyi koymak: "Gerçekten harika bir kanıt keşfettim, ancak sayfanın kenar boşluğu onu geliştirmek için çok dar." Önümüzdeki 350 yıl boyunca, Fermat'ın bu ifadesi, o zamandan beri bu matematiksel problemi çözmek için kendilerini korkunç bir mücadeleye atan en ünlü matematik zihinlerinin takıntılı bir fikri haline geldi. Bütün bunlar Simon Singh'in Fermat'ın Son Teoremi adlı kitabında incelenmekte ve analiz edilmektedir. Aşağıdakiler de aynı kategoride sınıflandırılır: "Leydi mi yoksa kaplan mı?", "Şeytan, Cantor ve sonsuzluk" (R. Smullyan), " Kitap cehennemi" (Carlo Frabetti), " Kırık zar" ( Ivar Ekeland) ) et al. İkinci kategori, matematikçilere atıfta bulunan romanları içerir. Karakterlerin bir kısmı Matematikçidir ve olay örgüsü bu nitelik tarafından belirlenir. Apostolos Doxiadis'in en ünlü ve en çok okunan eseri olan "Peter Amca ve Goldbach'ın Sanısı" bu kategoriye girer. Bu kitap kendini matematiğe adayan bir adamın hayatını anlatıyor. Anlatıcı-yeğen, bir zamanlar ünlü bir matematikçi olduğunu, ünlü "Goldbach'ın Sanısı" üzerinde çalışacak kadar zeki ve cesur olduğunu keşfeder. Matematiksel olarak acemileri bile matematiğin güzel dünyasına ve "Riemann Teoremi" ve Gendel'in "Tamamlanmamışlık Teoremi" gibi en dikkat çekici matematik teoremlerinden bazılarına yönlendiren büyüleyici bir matematiksel gizem. Büyüleyici, değeri yüksek ve pazarlıkları bol bir eser........ Philibert Schogt, bir üniversite romanı biçimini kullanarak "Çılgın Sayılar" adlı kitabıyla bizi saf matematikle uğraşanların düşünce ve çalışmalarını tanıtıyor. Üniversitelere hakim olan gaddarlık ve rekabet ruhu, araştırmacıların bilgi ve öz farkındalığın zorlu yolunda izledikleri özel yol ve izolasyon, yazarın yoğun eleştirisinin parlamasına izin veren mizah ve hafif yazı ile "konum için" işlenir. Modern yuppie toplumundaki matematikçinin, yararlı ve verimli bir şeyle uğraşmayanları hor görüp marjinalize etmekle kalmayan, aynı zamanda onları düzeltmeyi de görev sayan bir toplum.", çeviriden sorumlu kişinin yazdığı gibi. Kitabın önsözü, Tevkros Michaelidis. Kurmaca biyografilerin ait olduğu üçüncü kategoride Tom Petsinis'in "Fransız Matematikçisi" adlı eseri ilgi ve dramıyla öne çıkıyor. Evariste Gallois'in çalkantılı ve kısa hayatını, güçlü ve büyüleyici bir kurgu dili kullanarak anlatan bir kitap, Gallois'in kendisinin anlatıcı olması gerçeğiyle hemen çekici ve dikkat çekici hale geldi. Matematiksel dehalar ruhani insanlardır, sıra dışıdırlar ve en önemlisi çok nadirdirler. Fransız matematikçide, büyük kurgusal yeteneğe sahip bir yazar, matematiksel zihnin karmaşık düşünme biçimini şok edici bir dönemin olaylarıyla birleştirmeyi başarır. (Fransa'nın Napolyon dönemi-iç çatışmaları). Aynı türden başka bir kurgusal biyografi, G.H.Hardy'nin "A Mathematician's Apology" adlı eseridir. Son olarak, dördüncü kategoride popülerleştirilmiş matematiği sunan eserler yer almaktadır. Yani, matematiksel olarak bilgisiz bir kişi tarafından bile sunulan kavramları anlamak amacıyla matematiğe biraz basitleştirilmiş bir biçimde atıfta bulunan eserler. Serge Lang, The Fascination of Mathematics adlı kitabında, Paris'teki Palais de la Decouverte'ye yaptığı ziyaretler sırasında halkla yaptığı üç sohbete yer veriyor. Kitabın sayfalarında Lang, özel matematik bilgisi olmayan bir kitleye asal sayılar, yarı saydam denklemler gibi önemli matematiksel konuları ve n-boyutlu geometriyi aktarmada takdire şayan bir beceriyle başarılı oluyor. "Matematiksel Gezgin" ve "Asal Sayıların Müziği" adlı eserler de bu türde sınıflandırılır. Matematik ve edebiyat arasındaki ortak yol, Mykonos'ta düzenlenen "Mathematics and Narrative" konferansıyla başladı ve aralarında Apostolos Doxiadis, Tevkros Michaelidis, Barry Mazur, John Barrow'un da bulunduğu birçok matematikçi-yazar tarafından oyulmaya devam ediyor. Marcus du Sautoy, Timothy Gowers ve diğerleri. Matematik ve edebiyatın buluştuğu tarihi anlarda ve modern matematik literatürünün referanslarında gezinmeye çalıştık. Kabul etmeliyiz ki, bu kadar farklı, görsel olarak aynı zamanda çok uyumlu iki türün, Edebiyat ve matematiği birleştiren ve aynı zamanda benzersizliğini koruyan bu nesneyle ilk temasta, şaşırdık ve heyecanlandık. cesur bir adım. Ancak bu konuyla ilgili çalışmalarımız sırasında ortaya çıktığı gibi, bu iki türün dolaylı ama aynı zamanda doğrudan bir ilişkisi olduğunu anladık. Bu gerçek, ortaya çıktığı eski yıllar ve izlediği yolun zamansızlığı ile belgelenmiştir. Öznellik ve nesnellik, muğlaklık ve netlik, özgürlük ve sınırlamanın birleşimi, sonunda, sonuçlara götüren düşünceleri tutarken ve onaylarken aynı zamanda çeken ve çıkaran mükemmel uyumlu bir şekilde gerçekleştirilir. Girişimizde Edebiyat ve Matematiği tanımlayan kavramlardan bahsettik. Bu iki türün birliğini karakterize eden bir tanım için çeşitli kaynaklarda zaman zaman aradığımız kadarıyla kesin bir formül bulmak imkansız hale geldi. Belki de, sonuçta, Matematik Edebiyatı terimi, edebi tür aracılığıyla matematiğe atıfta bulunan, anlatılan veya atıfta bulunan eserlerin yaratılması anlamına gelir. İki kavramın işbirliğini ve rekabetini öne çıkaran eserler. Resim ve mimaride matematik Matematik ve resim iki farklı kavram olmasına rağmen, bir araya getirilebilir ve etkileyici ve takdire şayan eserler verebilirler. Tarihsel olarak matematik öncelikle mantık olarak görülse de duyguya hitap eden sanatın gelişmesinde önemli rol oynamıştır. Matematik ve resim ilk olarak kübizm tekniğinde buluşur. Terim ilk olarak, küp benzeri evlerin Braque resmine alaycı bir yorum olarak kullanıldı. Başlıca temsilcileri, Picasso (1881 - 1973) ve Braque (1882 - 1963), modellerini katı geometrik Afrika sanatından değil, aynı zamanda çalışmalarında form yapısının kullanımını inceledikleri ve inceledikleri Cezanne'ın seyrinden de türemiştir. nesnelerin basitleştirilmesine ve geometrik olarak parçalanmasına dayanan şeylerin yeni bir mantıksal sunumunda. Bu iki sanatçı uzun süre birlikte çalıştıkları için bazı eserlerini hangisinin çizdiğini söyleyemeyiz. Kübizm esasen Picasso'nun 1906 ve 1907 yılları arasında yaptığı "Misses of Avignon" adlı eseriyle doğdu. Bu resimde 1906'nın sembolizmi, Kübist arayışların başlangıcına işaret eden yeni plastisite ile bir arada var oluyor. Ressam, 1907'nin sonuna kadar, esere hangi değişikliklerle daha fazla homojenlik kazandırabileceğini bulmaya çalıştı, ancak çabasının sonuçlarının tatmin edici olmadığına ve resmin orijinal şeklini koruduğuna karar verdi. Kübizm konuları ağırlıklı olarak natürmort, müzik aletleri, şişeler, bardaklar, Parisli sehpalardır, çünkü bunlar ne illüstrasyonla ne de anlatıyla değil, şeylerin entelektüel performansı, form, renk ve ışığın analizi ile ilgilendiler. Eserleri ayrıca geometrik desenlere dayalı ritmik kompozisyonları ve hakim olan koyu gri ve hardal rengi ile karakterize edilir. Kübizm soyut ve geometrik bir sanat gibi görünse de gerçek nesneleri tasvir eder. Kübist ressamlar, gerçeklik ile onun yanıltıcı temsili arasında yeni ilişkiler aradılar ve bu nedenle gözü "aldatmayı" ve şeyleri "gerçek" olarak sunmayı reddettiler. Boyalı yüzey iki boyutlu olduğundan, herhangi bir derinlik yanılsaması yanlıştır. Ancak bir cismin sadece bir açıdan sunulması da yanlış veya eksiktir. Cismin aynı anda önü, arkası, içi ve dışı vardır. Esasen görsel gerçekliğe yönelik bu saldırı, nesnelerin ve doğal dünyanın yalnızca dış görünüşleriyle tükenmediğinin, çünkü nesnelerin özünü açığa çıkarmaktan çok gizlediğinin bulunmasının sonucudur. Böylece kübizmde hareket ve zaman içerilirken, nesne gerçekte göründüğü gibi değil, gözlemcinin zihninde var olduğu gibi tasvir edilirken ya da daha doğrusu onu aldığı temsillerle özdeşleştirmek için gerektiği kadar çok öğe verilir. gözlemcinin bu konuda sahip olduğu bilgi. Birkaç yıl sonra, kübizm tekniğinden bağımsız olarak, resimlerinde güçlü geometrik ve topolojik unsurlara sahip tasarımları kullanan ünlü İspanyol sürrealist ressam Salvator Dali (1904 -1982) faaliyete geçti. Dali birçok eserinde dört boyutlu uzayı iki boyutlu uzayda tasvir etmiştir. Örneğin, "Dördüncü Boyutu Arayışında" adlı eserde topoloji ve dört boyutlu geometri unsurları vardır, böylece resim bir hiper küre etrafında hareket ediyormuş gibi görünür. Dalí her türlü mecrada çalışmış, ardında yağlı boya tablolar, çizimler, suluboyalar, grafikler, mücevherler ve her türlü nesneden oluşan zengin bir malzeme bırakmıştır. Çalışmaları hakkında şunları söyledi: "Çalışmalarım, elde ettiklerimin, yazdıklarımın ve düşündüklerimin bir yansımasından başka bir şey değildir. Tüm resmim evet, genel kozmogonimin bir parçası." Ancak "matematiksel sanat" terimine atıfta bulunduğumuzda aklımız, matematiksel fikirlere dayalı benzersiz ve büyüleyici sanat eserleri yaratan Hollandalı sanatçı Maurits Cornelius Escher'e (1898 - 1972) gidiyor. Böylece, Escher haklı olarak matematiksel sanatın babası olarak adlandırıldı. Uçağı dalgalı sıralı kuşlar, balıklar, sürüngenler, memeliler ve insanlarla bölerek simetri yasalarına, küme teorisine, perspektife, topolojiye ve kristalografiye dayalı çok çeşitli şaşırtıcı görüntüler yaratmayı başardı. Eserleri litografi, gravür, gravür ve bakır levhadır. Ancak Escher, kristalograflar tarafından düzlemi böldüğü başarılı mozaik sanatıyla tanınır. Yine görevi sırasında yansımalar, kristal şekiller ve küreler ile birçok eser yarattı. Resimlerinin çoğu siyah beyazdır, ancak bu onların sanatsal ve matematiksel değerlerini etkilemez. Escher'in özel sanatını anlama çabasında, en önemli resimlerine daha ayrıntılı olarak atıfta bulunmaya değer. "Görelilik"te, üç yerçekimi kuvveti uygulanır ve birbirine bağlanır. Dünyanın üç düzlemi her düzlemi dik açılarla deler. Farklı seviyelerdeki doğal ortamda yürümek, oturmak veya ayakta durmak imkansızdır çünkü neyin yatay neyin dikey olduğuna dair farklı bir algı vardır. Şaşırtıcı bir şekilde insanlar aynı alanı ve aynı merdivenleri paylaşırlar. "Gündüz ve Gece"de birçok simetriye sahip bir resimde, gri dikdörtgen arka plan, beyaz ve siyah kuşların silüetlerinde (veya ana hatlarında) yukarı doğru gelişir; siyah olanlar sola ve beyazlar sağa doğru zıt bir oluşum içinde uçar. Resmin solunda beyaz kuşlar birlikte geçtiler ve bol ışıklı bir gündüz göğünde yan tarafın tonunu değiştirdiler. Sağ tarafta ise kara kuşlar birlikte onu söndürür ve geceye çevirir. Gündüz ve gece manzarası, açık ve koyu gri yardımıyla her iki tarafın ayna görüntüleridir. Ayrıca resme yukarıdan aşağıya bakıldığında kuşların tarlalara dönüştüğüne dikkat edin. "Sürüngen" resmi, bir timsahın döngüsel yaşamını gösterir. Her türlü nesne arasında, mozaik sürüngen formunun boyalı görüntüsünün bulunduğu bir çizim defteri öne çıkıyor. İçlerinden biri bu yüzeysel yalandan sıkılır, iki boyutlu hapishaneden şakacı bir şekilde kaçar ve üç boyuta yani normal hayata girer. Sonra etrafındaki nesnelerin üzerine çıktıktan sonra yoruldu ve boyalı resme geri döndü. "Küresel yansımalı el" adlı bir başka özel tablosu da ressamın elini bir top tutarken ve üzerinde düşünürken gösterir. Bu aynada, onu çevreleyen şeyin düz bir aynadakinden daha eksiksiz bir görünümü oluşur. Odada dört duvar, bir zemin ve bir tavan vardır. Başı ve daha doğrusu gözlerinin arasındaki nokta kürenin tam ortasında. Küresel aynayı nasıl çevirirse çevirsin, kendisi merkezde kalır. Onun egosu, dünyasının istikrarlı çekirdeğidir. Escher'in çalışmaları 1950'lere kadar büyük ölçüde fark edilmedi, ancak 1956'da ilk büyük sergisini açmış, onun hakkında bir Times dergisinde yazılar yazmış ve dünya çapında ün kazanmıştı. En büyük hayranları arasında, çalışmalarında matematiksel ilkelerin şaşırtıcı bir örneğini tanıyan matematikçiler vardı. En önemli şey, Escher'in liseden sonra resmi bir matematik eğitimi almamış olmasıydı. Çalışmaları geliştikçe, genellikle planometri ve projektif geometrideki yapılardan doğrudan çalışarak, okuduğu matematiksel fikirlerden çok ilham aldı. Ayrıca paradoksal ve "imkansız" şekillere de hayrandı ve bu, birçok garip sanat eseri yaratmasına yardımcı oldu. Böylece, bir matematik öğrencisi için Escher iki alanı kapsar: uzayın geometrisi ve bizim "uzay mantığı" diyebileceğimiz şey. Escher'in simetrik olan ve olmayan her türlü mozaikten büyülendiğini ve özellikle şekillerin değişip birbiriyle etkileştiği, bazen de yüzeyden çıkarak özgürleştiği "dönüşümler"den keyif aldığını görmek kolay. Mozaiklerin çoğu, yüzeyleri bölen asimetrik çokgenlerdir. Escher, geometrilerin yansımalar, yuvarlanan yansımalar, ötelemeler ve döndürmeler olarak adlandırdığı şeyleri uygulayarak mozaiklerinde bu temel kalıplardan yararlandı. Bunu daha çeşitli tasarımlar elde etmek için yaptı. Ayrıca bu şekilleri daha karmaşık hale getirdi, onları "çarpıttı" ve metamo onları hayvanlara, kuşlara ve diğer formlara enjekte etmek. Mozaiğin korunabilmesi için bu çarpıklıkların temel şeklin üçlü, dörtlü veya altılı simetrisine (yani bu simetriler üçgenlerden, karelerden ve altıgenlerden gelir) uyması gerekiyordu. Sonuç hem etkileyici hem de güzel olabilir. Escher'in kendisi şunu savundu: "Eğer kendi küçük resimlerim bana dünyanın en güzel kamerasından daha fazla keyif veriyorsa, o zaman belki doğru yoldayımdır." Resmin yanı sıra matematiğin çeşitli yaşam biçimlerine ve sanata katkısı büyüktür. Örneğin, en ünlü sayılardan biriyle ilgilenmeye değer. "Altın oran" olarak bilinen Φ sayısı. Bir düz parçayı, toplam uzunluğunun büyük parçanın uzunluğuna oranı, büyük parçanın uzunluğunun küçük parçanın uzunluğuna oranına eşit olacak şekilde eşit olmayan iki parçaya bölmek istediğimizi varsayalım. , yani, şeklimizde AG'nin AB'ye oranının, AB'nin BG'ye oranına eşit olmasını istiyoruz. B'deki bölüm, yani "altın bölüm", bu sonucu elde eden bölümdür ve bu eşsiz altın bölümde ΑG/AB ve AB/BG oranı her zaman eşittir (ilgili düzlüğün uzunluğundan bağımsız olarak). segmentler) 1.62'ye, yani F. Φ sayısının yaydığı uyum, eski Yunanlılar tarafından çeşitli şekillerde bilinmiş ve kullanılmış, oranları Φ'ye dayanan Parthenon'un mimarisi anlayışıyla maksimuma ulaşmıştır. Φ aynı zamanda, örneğin insan vücudunun oranları, borsa fiyat endeksinin seyri ve diğer kaotik fenomenler gibi bir dizi fiziksel miktar, fenomen veya insan tezahürü ile az çok doğrudan ilişkilendirilmiştir, gezegenlerin güneş etrafındaki yörüngeleri, kredi kartlarının şekli, kristallerin geometrik yapısı, leonardo da vinci gibi büyük ressamların eserlerinin renk ve tasarım oranları, insan vücudunun biyoritimleri ve kalp atış hızı, fiziksel özellikler çeşitli hayvanlar, Chaology'nin Feigenbaum sabiti, çeşitli dinlerin teolojik metinleri ve çok daha fazlası. Matematik ve mimarlık arasındaki ilişki de karakteristiktir. Örneğin Cheops'un piramidi, Kutsal Dağ'ı ve insanlığın cennete ulaşmak için verdiği evrensel mücadeleyi simgeleyen devasa bir yapıdır. O, "dünyanın resmi"dir ve uzayın dört yönünü içerir. Mimari benzersizliği ve ihtişamının ötesinde, büyük piramit, ezoterik kaynaklar tarafından Evrenin gizemlerini kodlayan gizemli oranları ve sayıları içeren bir sembol olarak kabul edilir. Kızılderililerin bina inşaatları da büyük ilgi görüyor. Çoğu yapı doğu ABD'de bulundu. Ve çoğu konik. Genellikle dolgun dört kenarlı piramitlerdir. En büyüğü - yaklaşık 30 metre yüksekliğinde ve yaklaşık 210 metrelik bir tabana sahip - Illinois'de bulunuyor. Kızılderili Kızılderili Geometrisi, basit daire tarafından oluşturulan doğal, orantılı bir geometridir. Mimari ve ikonografik kanıtlar, bunun en az 2000 yıl boyunca aktarılan ve uygulanan ortak bir gelenek olduğunu kanıtlıyor. Çin ve Akdeniz havzasından Britanya Adalarına kadar dünyanın çeşitli yerlerinde keşfedilen ve geliştirilen geometrinin aynı türüdür. Çok daha sonra, Rönesans mimarisindeki en tipik "matematiksel" örnek, en büyük villalarındaki odaların üç boyutlu çizimi için harmonik oranlar kullanan Palladio'dur. Yedi ideal oda formu seçti: en boy oranları, köşegenler ve kare kombinasyonları ile dairesel, kare ve diğer beş form. Günümüzde mimarlık ve matematik el ele gitmektedir. Tipik bir örnek, Prag, Rotterdam ve diğerleri gibi büyük Avrupa şehirlerini süsleyen kübist evlerdir. Ayrıca, dünyadaki büyük modern mimari yapılar, düzenli çokgenler, trigonometri ve simetriler gibi temel matematiksel kavramlara dayanmaktadır. Güzel sanatları matematik yoluyla gözlemleyerek, yalnızca zor denklemlerle karmaşık bir dünyayı ayırt etmekle kalmayıp, bunun yerine bir fantezi dünyasını, bir matematik dünyasını ve gerçek hayatımızın bir dünyasını keşfetmeniz garip. Picasso ve Brucke, Dali ve Escher ve diğerleri matematik kullanarak sanat yarattılar. Matematiğin kendisi bir sanat mıdır? Matematik - Müzik Matematik ve müzik çok yakından ilişkili iki bilimdir. Antik çağlardan beri iki sanat birbiriyle etkileşim içinde olmuştur ve bu etkileşim günümüze kadar devam etmektedir. Matematik ve müziği birleştirme fikri 26 yıl önce doğdu Antik Yunanistan'da yüzyıllardır, matematikçi ve Pisagor düşünce okulunun kurucusu Pisagor tarafından. Filozof, müzik ve sayılar arasındaki ilişkinin çok iyi farkındaydı. Uzman araştırmacılar, kendisinin ve öğrencilerinin, eski monokord enstrümanını inceleyerek müzik ve sayılar arasındaki ilişkiyle tanıştırılmış olma ihtimalinin yüksek olduğuna inanıyorlar. Adından da anlaşılacağı gibi, monokord, kol ud ailesindeki birkaç bilim adamı tarafından yerleştirilen, tek bir telli ve teli bölen ve sadece bir parçasının titreşmesine izin veren hareketli bir köprüye sahip bir enstrümandı. Monokord, müzikal seslerin matematiksel ilişkilerini tanımlamak için kullanıldı. Buluşunu Pisagor'a atfettikleri için "Pisagor kanonu" olarak da adlandırıldılar. Archytas gibi birçok büyük matematikçi, kurala dayalı müzik aralıklarının hesaplanması üzerinde çalıştı (dörtlü, kromatik ve enharmonik olmak üzere üç cinste dörtlülerin aralıklarının oranları üzerinde çalıştı ve büyük üçüncünün oranını keşfetti. enharmonic cins), Eratosthenes the Twin (ona, majör ton (9/8) ve minör ton (10/9), yani 81/80 arasındaki fark olan "İkizler'in bir parçası" tanımı atfedilir. Monokorda sadece kesin matematiksel ilişkilerin harmonik sesler vermesi dikkat çekiciydi. Örneğin, ahenkli bir sesten gelen hoş bir zihinsel duyguya sahip olmak için teli ortadan değil tam ortasından ayırmaları gerekiyordu. Böylece Pisagorcular kolayca matematiğin müziği yönettiği ya da bir dereceye kadar müziğin matematiği yönettiği sonucuna vardılar. Pisagorcular için, matematik, müzik ve hoş zihinsel duygunun bu doğrudan ve kesin ilişkisi, gerçeğin en üst düzeyde matematiksel ilişkilerde ifade edildiğinin en büyük kanıtıydı. Aslında, ruhun matematik ve müzik yoluyla evrenle birleşinceye kadar yükseltilebileceğine ve bazı matematiksel sembollerin okült bir anlamı olduğuna inanıyorlardı. Pythagorasçıların ufuklarını sınırlayan ve onları çevremizdeki dünyanın her şeyin mükemmel uyumu üzerine kurulu olduğu sonucuna götüren rasyonel sayılara olan takıntısıydı. Bununla birlikte, Avrupa müziği, en azından Johann Sebastian Bach'ın "Well-Weathered Clef" adlı kompozisyonu aracılığıyla oktavın on iki yarım tona bölünmesini önerene kadar Pisagor armoni ilkelerine dayanıyordu. kürelerin müziği Pisagorcular, gezegenlerin (kürelerin) gökyüzünde seyahat ederken galaktik eter ile sürtünmelerinden dolayı müzik ürettiğine inanıyorlardı. Özellikle Dünya'nın evrenin merkezi olduğuna ve her gezegenin Dünya'dan uzaklığına bağlı olarak kendi notalarını ürettiğine inanıyorlardı. Aynı zamanda, evrenin melodisinin o kadar özel olduğunu ve basit kulaklarımızın onu duyamayacağını keşfettiler. Ancak o kadar güçlü bir müzik ki, dört mevsimden havaya kadar hayatın tüm döngülerini belirler. Pisagor'un monokordu Fakat Pisagorcular matematik ve müzik arasındaki ilişkiyi vurgulamak için monokordla tam olarak nasıl deney yaptılar? Bir telin uzunluğunu tam olarak ikiye bölersek, üretilen ses tam olarak bir oktav daha yüksektir (bir oktav bir C, D, E, F, G, A, B, C'dir) - yani bize bir oktav verir. C daha yukarıda. Akorun uzunluğunu 1/3 oranında azaltırsak, akorun kalan 2/3'ü bize beşincinin farkını verir (yani C'den A'ya). Ve uzunluğu 1/4 oranında azaltırsak, kalan 3/4 bize dördüncünün (C'den G'ye) farkını verir. O halde, bu gözlem düzeyinde matematiğin müziği "yönettiği" açıktı. Bu farklılıkların seslerinden dinleyicide hoş bir duygunun oluşması, Pisagorcuları, müzik aracılığıyla bütünlerin ve kesirlerin sadece cansız dünyayı değil, canlı dünyayı da kontrol ettiği sonucuna varmasına neden olmuştur. Pisagor'dan daha genç olan Aristoxenus, bir filozof ve en önemli müzik teorisyeniydi ve hatta müzisyen adı verildi. Yöntemi esas olarak ampirikti. Onun öğretim sistemi, Pisagor'un aksine, kulağın müzik tonlarının armonik ilişkisini algılama yeteneğine dayanmaktadır. Oktav içindeki sayısal ilişkileri araştırmaz, ancak tam ve yarım tonları belirler ve bir tonun 1/12'sine dayalı bir ölçek oluşturur. Öklid ise müzikal aralıklar için geometrik bir öneriye sahiptir. Düz çizgilere karşılık geldiğini, ancak bir farklı olduğunu, sayı olarak üretilen düz çizgilerin başında ve sonunda iki harfle tanımlanırken, müzik aralıklarının bir harfle gösterildiğini düşünür. Öklid'in Müzik Aralıklarının Geometrik Önermesi Günümüz gerçeğinde hem müzik teorisi ve müzik pratiği, sırayla matematiksel ilişkilerle formüle edilen fiziksel yasalarla yorumlanır. Akustikte (fiziğin ses ve özellikleriyle ilgilenen özel dalı) bir müzik aralığı, iki frekansın oranı olarak ifade edilir. Bazı durumlarda oran, örneğin saf beşinci (3/2), saf dördüncü (4/3), oktav (2/1) vb. gibi iyi bilinen oranlarımız gibi basit bir biçimdedir. Diğer durumlarda, en büyük ortak bölenin yokluğunda, oranın terimleri bölmede (2048/2025) olduğu gibi büyük sayılardır. Bu nedenle sonuç, iki müzik aralığını karşılaştırmanın imkansız olmasa da zor olduğudur. Müzik aralıklarının temsilindeki sadeleştirme, logaritmik ilişki yardımıyla sağlandı: müzik aralığı boyutu = k * log(f2/f1)/log2 f1, f2'nin müzikal aralığın notalarının frekansları ve f2>f1 olduğu yukarıdaki ilişkide. k değeri aynı zamanda müzikal aralık birimleri sistemini de belirleyen bir sabittir. Müzik aralıkları için karşılaştırmalar k sabitinin değerlerine bağlı olarak (oktavın karşılık gelen değer kadar parçaya bölünmesiyle ilgili), ayrıca bir müzikal aralık birimleri sistemimiz var. k sabitinin en bilinen ve karakteristik değerleri aşağıda listelenmiştir. Oran - Sayı Ritim ve Armoni, herhangi bir müzikal ifadenin iki temel bileşenidir. Tıpkı sayının ilk, temel Matematiksel yapı olması gibi, ritim de insan için ilk müzikal başarıdır. Ritim ve sayının, zamanın bölünmesinden ve zaman anlarının olaylarla 1-1 uyuşmasından aldıkları ortak bir köken vardır. Modern uyum algısı, çok güçlü bir Matematiksel "araç" olan Fourier analizinin kullanılmasıyla ortaya çıkar. Antropolog G. Murdock (1986), tüm kültürlerde ortak olan 72 element olduğunu, bunların arasında sayı sembolleri ve müzik olduğunu belirtmektedir. İnsanların müzikal alışkanlıklarıyla ilgili en eski buluntu 35.000 yaşındadır ve arkeologlara göre görünüşte ritmik sesler çıkarmak için kullanılan mamut kemikleridir. O halde ritim, insanın kullandığı ilk müzik türüdür. Şimdi Matematik alanında, insan zihninde erkenden inşa edilmeye başlanan ilk Matematiksel kavram sayı kavramıydı. Bugün bu iki kavram, Batı müziğinin yazılış biçiminde bir arada var olmaktadır. Bir örneğe bakalım: Şekil, bir müzik parçasının bir bölümünü göstermektedir. Birinci ve ikinci sembolün zaman değeri sırasıyla 1/4 ve 1/2'dir, birleştirilen sembollerin (notların) her biri varsayılan olarak 1/8 değerine sahiptir. Başlangıçtaki 4/4 kesri, her bir ölçünün, yani müzikal bir cümle içeren her aralığın, toplam değeri 4/4 olan semboller (notlar) içermesi gerektiğini belirler. Aslında 1/4+1/2+1/8+1/8=4/4. Şimdi sayı tempoyu belirler ve bir müzik parçasının müzisyenler tarafından senkronize olarak çalınmasına izin verir. Modern algılara giden yol. Şimdiye kadar tanımladığımız şey aşağıdaki şekilde temsil edilebilir: Yeni teknolojik uygulamaların yolu açılır ve müzik aletlerinin yapılma şeklini etkiler ve bu, bilim adamlarının darbeli hareketler çalışmasına yönelmesine neden olur. Bu değişim, gördüğümüz gibi, Pisagorcular seslerin sayısal ilişkileriyle ilgilenirken, şimdi seslerin üretilme biçiminin incelenmesine yönelik olan Müzikal fenomen araştırması için bir katalizördür. 17. yüzyılın ortalarındayız. Titreşimli hareketlerin incelenmesi, periyodik fenomenlerin matematiksel kavramının oluşumuna yol açar ve Trigonometri artık geleneksel olarak hesaplamalı tutumundan daha analitik bir değerlendirmeye dönüşmektedir. Bu noktada iki önemli noktaya değineceğiz: 1. Pisagor, zamanının Matematiksel araçları böyle bir şeye izin vermediği için, bir ipin ürettiği sesi, ipin gerilim ve kütle parametrelerini dahil etmeden inceledi. 2. Euler, D'Alembert ve Langrange gibi ünlü matematikçiler titreşen sicim denklemini çözmeye çalıştılar. Daniel Bernoulli, bir dizi trigonometrik fonksiyon aracılığıyla bir çözüm buldu, ancak titreşen sicim probleminin genel çözümünü ortaya çıkaran, 1822 yılında Fourier'in "Theorie analytique de la chaleur" adlı çalışmasıydı. Aşağıdaki şekil, bir flütün F notası ile trigonometrik ilişkiler kullanılarak harmonik bileşenlerinin ürettiği eğriyi göstermektedir. Bir flüt tarafından üretilen nota D. Harmoniklerin sadece 3 olduğunu fark ettik, bu yüzden flüt sesi çok basit. Çağdaş Besteciler Müziğe ilk matematiksel referans, bestecinin yapısını temel aldığı A. Berg'in Lyrical Suite'inde 1925'e kadar izlenebilir. hareketlerin boyutunu, metronom göstergelerini ve hatta bazı yerlerde akorların nota sayısını belirleyen sihirli sayı 23'teki eserinin eseridir. İkinci Dünya Savaşı'nın sona ermesinden sonra ve 20. yüzyılın ikinci yarısının başında Karlheinz Stockhausen, Ianis Xenakis, Les Paul, Edgar Varese ve diğerleri gibi besteciler bestelerinde elektronik müziği kullanmaya başladılar. Sesin elektronik üretimi ve işlenmesi için yeni yöntemler bu şekilde geliştirilmektedir. I. Xenakis'in çalışmasının özel önemi, 1954 gibi erken bir tarihte, "Metastasi" eserinin bestesi ile kendi kişisel tarzıyla dünya müzikal avangardının bir parçası olması gerçeğinde değil, aynı zamanda esas olarak hem ses olgusunun organizasyonu açısından hem de matematik ve müzik arasındaki ilişkilerin devrimci keşfi ile bir dizi yeni kavramla, şimdiye kadar verilen müzik kompozisyonu sahnesinde muazzam yeni ufuklar açtığı gerçeğinde. Müzik, güzelin, hatırlamanın ve unutmanın, hoş ve hoş olmayanın duygusu gibi niteliksel bir olgudur. Batı dünyasının tarihi, son üç yüzyılda, tüm nitel fenomenleri niceliklere dahil etme çabasıyla doğrudan bağlantılıdır, çünkü bu fenomenler bu şekilde kontrol edilebilir, nesnel olarak yorumlanabilir hale gelir. Her içsel duygu artık bir görüntü olabilir, uzaya çıkabilir. Kırmızı renk hissi, bir miktar görünür radyasyon dalga boyundan kaynaklanır ve notalar bir osiloskopta hareket eden eğriler haline gelir. Öznel olanı nesnel hale getiren sürekli bir dönüşüm gerçekleşir ve bu dönüşümde katalizör Matematik gibi görünmektedir. Kaynak: Gümülcine Müzik Okulu 3. Lisesi öğrencilerinin çalışmaları, 2005-2006 Tarafından gönderildi: Delilik, bilincin başka bir biçimidir