το χάος και η θεωρία του

 

 

 

 

 

 

 

Η Θεωρία του Χάους και το Φαινόμενο της Πεταλούδας

Τι είναι το χάος και η θεωρία του χάους

Στον αιώνα που μας αποχαιρέτησε τρεις ήταν οι μεγάλες επιστημονικές επαναστάσεις: η σχετικότητα, η κβαντική μηχανική και η θεωρία του Χάους. Η πρώτη βρήκε τη σχέση του χώρου και του χρόνου, η δεύτερη την αρχή της αιτιότητας και η τρίτη διερευνά την έννοια της προβλεπτικότητας, πως από παρόμοιες αρχικές υποθέσεις μπορούν να προκύψουν πολύ διαφορετικά συμπεράσματα.

Η λέξη Χάος χρησιμοποιείται με διαφορετικό τρόπο, σε διαφορετικές περιπτώσεις, από διαφορετικούς ανθρώπους. Άλλη η έννοια του χάους στην θρησκεία ή στην αρχαία ελληνική φιλοσοφία ή στην σημερινή εποχή μας (χάος = διάλυση, σύγχυση, μπάχαλο, αταξία κλπ) ή ακόμη και στην αναπαράσταση του με διάφορα σύνολα τύπου Mandelbrot και άλλη η έννοια του χάους στην επιστήμη.

Στην επιστήμη το χάος ορίζεται σαν την εξαιρετικά ευαίσθητη εξάρτηση της κίνησης από τις αρχικές συνθήκες. Η απρόσμενη μεταβολή στις αρχικές συνθήκες είναι το στοιχείο του χάους - της αταξίας- που εκδηλώνεται σε μια τακτική και σταθερή φυσική διαδικασία. Δηλαδή αναλυτικότερα, χάος είναι η χαοτική κατάσταση που προκύπτει όταν μεταβληθούν έστω και κατ' ελάχιστο τα αρχικά δεδομένα ενός δυναμικού συστήματος. Αλλά στη νέα θέση που θα οδηγηθεί το σύστημα από έναν "ελκυστή", θα κατακαθίσει και θα παγιωθεί σε μια θέση που όμως πάλι η προβλεψιμότητα της θα είναι αδύνατον να εκφραστεί με νόμους αιώνιους ή ντερμινιστικά.

Έτσι όμως η λέξη χάος εκφράζει κάτι κοινό για όλους: Την αστάθεια και την αταξία. Τα παραδείγματα από την καθημερινή ζωή είναι πολλά. Ο καπνός του τσιγάρου που στροβιλίζεται σε πολύπλοκες και απρόβλεπτες δίνες. Η ροή του νερού που στάζει από μια βρύση. Το νερό των κυμάτων που σκάζουν πάνω σε μια ακτή. Το μελάνι που διαχέεται μέσα σε ένα ποτήρι νερού με απρόβλεπτο τρόπο. Στην αστρονομία μπορεί να έχουμε μια τυχαία μεταβολή κάποιας ιδιότητας (κλίση τροχιάς, εκκεντρότητα τροχιάς κάποιου πλανήτη κλπ). Στη βιολογία, στην κοινωνιολογία, στην οικονομία και τέλος στην ιατρική έχουμε παρόμοιες εκδηλώσεις χαοτικής συμπεριφοράς. Αλλά τα παραδείγματα δεν τελειώνουν εδώ. Το απρόβλεπτο των τιμών στο χρηματιστήριο, στα ηλεκτρικά κυκλώματα, στους χτύπους της καρδιάς, στην ροή του νερού ή του αίματος μέσα στους σωλήνες, στην μεταβολή των πληθυσμών στα πουλιά και στα φυτά είναι ορισμένοι τομείς στους οποίους συνυπάρχει το χάος.

Στην δεκαετία του 1970 οι επιστήμονες άρχισαν να προσεγγίζουν την έννοια της αταξίας. Οι μαθηματικοί, φυσικοί, φυσιολόγοι, βιολόγοι και χημικοί αναζητούσαν συνδέσεις ανάμεσα σε διαφορετικά είδη μη κανονικότητας. Μετά τις πρώτες εκπλήξεις από την χαώδη συμπεριφορά πολλών μοντέλων οι μαθηματικοί του χάους ζητήσανε να καταλάβουν τις χαοτικές κινήσεις της καθημερινής ζωής. Τις αλλαγές του καιρού. Τις διακυμάνσεις στους πληθυσμούς των αγρίων ζώων. Την εξέλιξη των τιμών στο χρηματιστήριο. Αναπαριστούν τα ανεξέλεγκτα αυτά φαινόμενα με μη-γραμμικές εξισώσεις σε Η/Υ. Κι ανακαλύπτουν την κρυφή τάξη που τα ορίζει. Έτσι οι φυσιολόγοι βρήκαν μια εκπληκτική τάξη στο χάος που αναπτύσσεται στην ανθρώπινη καρδιά, την κύρια αιτία του απρόσμενου θανάτου. Οι οικολόγοι ερεύνησαν την εμφάνιση και εξαφάνιση νομαδικών πληθυσμών εντόμων. Οι οικονομολόγοι εξέταζαν τις τιμές κάποιων προϊόντων. Οι μετεωρολόγοι εξέταζαν το σχήμα των νεφών, τις διαδρομές των αστραπών στον αέρα. Και οι αστροφυσικοί πως ομαδοποιούνται τα άστρα σε γαλαξίες. Στην αστρονομία η συνειδητοποίηση της ύπαρξης του χάους στο Ηλιακό σύστημα, παρόλο που το θεωρούσαμε ένα δυναμικό σταθερό σύστημα-- προκαλεί ερωτήματα του κατά πόσο έπαιξε ρόλο το χάος στο σχηματισμό του Ηλιακού συστήματος.

Έτσι γρήγορα οι. επιστήμονες άρχισαν να μελετούν το χάος στην εφαρμοσμένη επιστήμη από την θεωρητική που μέχρι τότε έκαναν. Μπορεί όμως το χάος να χαρακτηρίζει τα μετεωρολογικά φαινόμενα, τα κοινωνικά, τα πολιτικά και τα βιολογικά δυναμικά συστήματα, αλλά από φιλοσοφικής πλευράς ζούμε σε μια όαση τάξης μέσα σ' ένα ωκεανό χάους: Από τη μια το χάος της απροσδιοριστίας στο μικρόκοσμο και από την άλλη η χαοτική δυναμική του μακρόκοσμου, με τους πλανήτες να κινούνται σε απρόβλεπτες τροχιές. Αίφνης η κίνηση των κυμάτων που σκάνε σε μια ακτή. Η κίνηση αυτή δημιουργεί ένα άγριο κουβάρι από τροχιές και περιδινήσεις, που περιέργως όμως δεν είναι εντελώς άτακτες. Καταλήγουν να 'χουν μια μορφή, μια υποτυπώδη γεωμετρική μορφή που οι μαθηματικοί του χάους ονομάζουν παράξενος ελκυστής (strange attractor). Ένα άλλο παράδειγμα είναι το παιχνίδι φλιπεράκι, όπου οι κινήσεις της μπάλας προσδιορίζονται ακριβώς από τους νόμους της κύλισης υπό την επίδραση της βαρύτητας και της ελαστικής κρούσης -και οι δύο πλήρως κατανοητοί-, αλλά το τελικό αποτέλεσμα είναι μη προβλέψιμο. Μέχρι τα τέλη του προ-περασμένου αιώνα, η εύρεση της τροχιάς κάθε ουράνιου σώματος γινόταν προσεγγιστικά, με τη βοήθεια των νόμων του Νεύτωνα και Κέπλερ, αφού δεν υπήρχαν Η/Υ για περισσότερη ακρίβεια. Οι κινήσεις των πλανητών και των άλλων ουρανίων σωμάτων θεωρούνταν περιοδικές και κανονικές σαν τη κίνηση ενός τέλειου εκκρεμούς.

Στα τέλη όμως του 19ου αιώνα, ο Γάλλος μαθηματικός και αστρονόμος Henri Poincare (1854 - 1912), έκανε μια ανακάλυψη που έμελλε να αλλάξει τα θεμέλια της Νευτώνιας μηχανικής, και να αποτελέσει έτσι τη γέννηση ενός νέου κλάδου της επιστήμης: του Χάους. Συγκεκριμένα ο Poincare διαπίστωσε πως το πρόβλημα των τριών σωμάτων (μελέτησε το πρόβλημα του Ήλιου, της Γης και της Σελήνης) ήταν και παραμένει άλυτο. Άρα, δεν μπορεί να προβλεφθεί η τροχιά οποιουδήποτε ουράνιου σώματος που δέχεται την επίδραση δύο η περισσοτέρων άλλων σωμάτων. Η προσπάθεια λοιπόν να υπολογιστεί η τροχιά πχ του Πλούτωνα, δεν είναι δυνατή, αφού δέχεται την επίδραση του Ήλιου και άλλων οκτώ πλανητών.

Ο Poincare αποκάλυψε το χάος στο Ηλιακό σύστημα καί μαζί ανακάλυψε την απρόβλεπτη εξέλιξη ενός μη γραμμικού συστήματος. Είχε κατανοήσει πως πολύ μικρές επιδράσεις μπορούν να μεγεθυνθούν μέσω της ανάδρασης. Γι' αυτό και διατύπωσε την άποψη "Μια ελάχιστη αιτία που διαφεύγει της προσοχής μπορεί να προκαλέσει ένα σημαντικό αποτέλεσμα". Η γέννηση του χάους και του απρόβλεπτου ήταν γεγονός. Αλλά χρειάστηκε να περάσουν 80 χρόνια από τότε για να συνειδητοποιήσουν οι αστρονόμοι και οι υπόλοιποι επιστήμονες τη σπουδαιότητα αυτής της ανακάλυψης.

Χαοτική κίνηση

Δεν υπάρχει γενικώς αποδεκτός ορισμός της χαοτικής κίνησης. Ο πιο διαδεδομένος είναι αυτός του Devaney, που διατυπώνεται ως εξής:

Για να χαρακτηριστεί η συμπεριφορά ενός συστήματος ως χαοτική, το σύστημα πρέπει να παρουσιάζει τις παρακάτω ιδιότητες:

1. πρέπει να παρουσιάζει ευαίσθητη εξάρτηση από τις αρχικές συνθήκες

2. πρέπει να είναι τοπολογικά μεταβατικό

3. το σύνολο των περιοδικών του τροχιών πρέπει να είναι πυκνό

Ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες σημαίνει ότι δύο σημεία σε ένα τέτοιο σύστημα μπορούν να ακολουθήσουν ριζικά διαφορετικές τροχιές στον φασικό χώρο, ακόμα και αν η διαφορά στις αρχικές συνθήκες είναι εξαιρετικά μικρή. Τα συστήματα συμπεριφέρονται με τον ίδιο τρόπο μόνο όταν η αρχική διαμόρφωση είναι ακριβώς η ίδια. Ουσιαστικά, αυτό σημαίνει ότι χρειάζεται κανείς να προσδιορίσει τις αρχικές συνθήκες με απεριόριστη ακρίβεια, προκειμένου να προβλέψει πώς θα συμπεριφερθεί το σύστημα πέρα από έναν περιορισμένο "χρονικό ορίζοντα". Στην πράξη, βέβαια, μπορούμε να προσδιορίσουμε τις αρχικές συνθήκες με περιορισμένη μόνο ακρίβεια. Μεταβατικότητα σημαίνει ότι εάν επιφέρουμε μια μετατροπή σε κάποιο διάστημα Ι1, τότε το διάστημα εκτείνεται μέχρι να επικαλύψει οποιοδήποτε άλλο δεδομένο διάστημα Ι2.Η μεταβατικότητα, τα πυκνά περιοδικά σημεία και η ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες μπορούν να επεκταθούν σε έναν αυθαίρετο μετρικό χώρο. Ο J. Banks και οι συνεργάτες του έδειξαν το 1992 ότι στα πλαίσια ενός γενικού μετρικού χώρου, η μεταβατικότητα και τα πυκνά περιοδικά σημεία υπονοούν την ευαισθησία στις αρχικές συνθήκες.


Ο ελκυστής του Λόρεντζ

Ελκυστές

Ένας τρόπος να παρουσιάσουμε οπτικά την χαοτική κίνηση ή οποιαδήποτε άλλη κίνηση, είναι η κατασκευή ενός διαγράμματος φάσης της κίνησης. Σε ένα τέτοιο διάγραμμα υπεισέρχεται σιωπηρά ο χρόνος και σε κάθε άξονα αναπαρίσταται μια μεταβλητή της κατάστασης. Για παράδειγμα, θα μπορούσε κάποιος να αναπαραστήσει την θέση ενός εκκρεμούς σε σχέση με την ταχύτητά του. Ένα εκκρεμές σε ακινησία θα σχεδιαστεί ως ένα σημείο και ένα σε περιοδική κίνηση θα σχεδιαστεί ως απλή κλειστή καμπύλη. Όταν ένα τέτοιο σχέδιο σχηματίζει κλειστή καμπύλη, η καμπύλη λέγεται τροχιά. Το εκκρεμές μπορεί να παρουσιάσει άπειρες τέτοιες τροχιές. Συχνά τα διαγράμματα φάσης αποκαλύπτουν ότι η πλειοψηφία των τροχιών καταλήγουν να πλησιάζουν ένα κοινό όριο. Το σύστημα τελικά εκτελεί την ίδια κίνηση για όλες τις αρχικές καταστάσεις σε μια περιοχή γύρω από την κίνηση, σχεδόν σαν να έλκεται το σύστημα σε αυτή την κίνηση. Μια τέτοια ελκυστική κίνηση καλείται ελκυστής του συστήματος.


Έντουαρντ Λόρεντζ

Ο Λόρεντζ και το φαινόμενο της πεταλούδας

Ο Λόρεντζ ενδιαφερόταν ιδιαίτερα για τον καιρό. Νεαρός ακόμη, στο δυτικό Χάρτφορντ του Κονέκτικατ, κρατούσε ημερολόγιο στο οποίο κατέγραφε τις καιρικές μεταβολές και τα μέγιστα και τα ελάχιστα της θερμοκρασίας. Παράλληλα τον συνάρπαζαν τα αινίγματα καί τα μαθηματικά. Τα μαθηματικά αινίγματα ήταν γι' αυτόν πρόκληση. Του άρεσε να ασχολείται με αυτά και αφιέρωνε πολύ χρόνο, με αποτέλεσμα να αποκτήσει εξαιρετικές ικανότητες, αποφάσισε λοιπόν να γίνει μαθηματικός. Αλλά πριν ακόμη καταφέρει να κάνει το όνειρό του πραγματικότητα, ξέσπασε ο Β' Παγκόσμιος Πόλεμος και ο Λόρεντζ κλήθηκε να υπηρετήσει στο στρατό. Στην Αεροπορία όπου τοποθετήθηκε, μπορεί να μη χρειάζονταν μαθηματικοί, υπήρχε όμως ανάγκη για μετεωρολόγους και έτσι ο Λόρεντζ άρχισε να ασχολείται με προβλήματα που σχετίζονταν με τον καιρό. Σύντομα διαπίστωσε ότι ο καιρός είναι ένα αίνιγμα όπως πολλά από τα μαθηματικά αινίγματα που είχε επεξεργαστεί, και μέσα σε λίγο διάστημα άρχισε να ενδιαφέρεται αποκλειστικά γι' αυτόν. Έτσι όταν απολύθηκε, γράφτηκε στο Κολέγιο Ντάρτμουθ (Dartmoyth College) απ' όπου πήρε πτυχίο στη μετεωρολογία.

Ωστόσο, βαθιά μέσα του παρέμενε μαθηματικός και λίγα χρόνια αργότερα, όταν βρισκόταν στο Μ.Ι.Τ. διέβλεψε μία ευκαιρία σύνδεσης των μαθηματικών με τη μετεωρολογία. Η πρόγνωση του καιρού αποτελούσε πρόβλημα: οι μετεωρολόγοι ήταν μεν σε θέση να κάνουν προβλέψεις για λίγες μόνο μέρες, αλλά δεν υπήρχε ελπίδα για μία μακροπρόθεσμη πρόγνωση. Υπήρχε κάποια αιτία γι' αυτό; Γιατί άραγε ήταν τόσο αδύνατη η πρόγνωση του καιρού; Ο μόνος τρόπος να δοθεί κάποια απάντηση ήταν να κατασκευαστεί ένα μαθηματικό μοντέλο του καιρού με εξισώσεις που θα αναπαριστούσαν μεταβολές στην θερμοκρασία, την πίεση, την ταχύτητα του ανέμου κ.ο.κ. Η πολυπλοκότητα όμως του καιρού έκανε ένα τέτοιο μοντέλο αδύνατο. Τελικά, ο Λόρεντζ επινόησε 12 εξισώσεις που περιείχαν μεγέθη όπως πίεση και θερμοκρασία και ήταν σε θέση να καταστρώσει ένα πρώτο, αδρό μοντέλο. Αλλά ακόμη και έτσι, οι απαραίτητοι υπολογισμοί ήταν πολύπλοκοι.

Εκείνη την εποχή είχαν κάνει την εμφάνισή τους οι πρώτοι ηλεκτρονικοί υπολογιστές. Στα 1960, οι υπολογιστές ήταν ακόμη άκομψα περίεργα μηχανήματα όπου αποτελούνταν από εκατοντάδες λυχνίες κενού που υπερθερμαίνονταν εύκολα, με αποτέλεσμα οι βλάβες να είναι συνηθισμένο φαινόμενο. Όταν όμως λειτουργούσαν ήταν πραγματικό θαύμα: εκτελούσαν εκατοντάδες υπολογισμούς το λεπτό. Ο υπολογιστής του Λόρεντζ ήταν ένας Royal McBee. Αν και αργός και χοντροκομμένος, ήταν γι' αυτόν αναντικατάστατος. Ο Λόρεντζ παρακολουθούσε ανυπόμονα τη μηχανή να παράγει συνεχώς αριθμούς που αναπαριστούσαν διάφορα χαρακτηριστικά του καιρού. Επρόκειτο για μία περίπλοκη μηχανή, που δημιουργούσε καιρικές συνθήκες μέρα με τη μέρα, συνθήκες που μεταβάλλονταν και που δεν φαίνεται ποτέ να επαναλαμβάνονταν.

Αλλά ο Λόρεντζ δεν ήταν ικανοποιημένος: δεν μάθαινε για την μακροπρόθεσμη πρόγνωση του καιρού όσα είχε ελπίσει, και έτσι απλοποίησε το σύνολο των εξισώσεών του, επικεντρώνοντας στα φαινόμενα μεταφοράς και στα μεταφορικά ρεύματα-ένα από τα χαρακτηριστικά του καιρού. Μεταφορικά ρεύματα υπάρχουν παντού γύρω μας. Ο θερμός αέρας ανεβαίνει, ενώ ο ψυχρός κατεβαίνει αυτό συμβαίνει κάθε μέρα στην ατμόσφαιρα και το αποτέλεσμα είναι η βροχή, το χιόνι ο άνεμος και άλλα. Κατά τον Λόρεντζ τα μεταφορικά ρεύματα ήταν κυκλικά. Ψυχρός αέρας κατέβαινε από την κορυφή της ατμόσφαιρας προς ένα σημείο του κύκλου, ενώ ο θερμός ανέβαινε από περιοχές κοντά στην επιφάνεια της Γης προς την άλλη πλευρά του κύκλου. Ο Λόρεντζ κατέληξε σε τρεις, φαινομενικά απλές, εξισώσεις που αναπαριστούσαν το φαινόμενο της μεταφοράς. Ο Λόρεντζ τις έβαλε στον υπολογιστή και έλαβε πάλι ένα πλήθος από αριθμούς που αναπαριστούσαν κάποια χαρακτηριστικά του καιρού. Έθεσε κατόπιν τα σημεία αυτά σε μία γραφική παράσταση και έτσι προέκυψε μία συνεχής γραμμή. Ο Λόρεντζ ήθελε να διαπιστώσει κατά πόσο μια μακροπρόθεσμη πρόγνωση ήταν δυνατή.

Εκείνη την εποχή μόλις είχαν αρχίσει να κατασκευάζονται γρήγοροι υπολογιστές με μεγάλη μνήμη και λίγα χρόνια νωρίτερα είχαν τεθεί σε τροχιά οι πρώτοι δορυφόροι. Μια νέα εποχή φαινόταν να ανατέλλει. Υπήρχε η δυνατότητα παγκόσμιας πρόγνωσης του καιρού, και με τη βοήθεια αρκετά μεγάλων υπολογιστών αναμενόταν πρόγνωση για διάστημα αρκετών μηνών, πράγμα που ήταν όνειρο πολλών ανθρώπων. Υπήρχε κάποιο εμπόδιο; Ο Λόρεντζ ήταν σίγουρος ότι το μοντέλο του θα έδινε κάποια απάντηση σε αυτό το ερώτημα και θα βοηθούσε στη διευκρίνιση των προβλημάτων που ίσως ανέκυπταν, δεν μπορούσε όμως να φανταστεί πόσο σημαντικό θα αποδεικνυόταν. Κάθε μέρα εξέταζε τα σχήματα που κατασκεύαζε ο υπολογιστής του και που έμοιαζαν να είναι τυχαία. Παρατηρώντας ένα από αυτά μια μέρα του 1961, αποφάσισε να το επαναλάβει. Εισήγαγε τα αριθμητικά αποτελέσματα στον υπολογιστή ως αρχικές συνθήκες, περιμένοντας ότι το αποτέλεσμα θα ήταν το ίδιο. Πράγματι, αρχικά (για λίγες μέρες) τα αποτελέσματα ήταν αρκετά όμοια, σύντομα όμως άρχισαν να αποκλίνουν και προς μεγάλη του έκπληξη μετά από λίγο οι δύο γραμμές απείχαν τόσο η μία από την άλλη, που δεν υπήρχε μεταξύ τους καμία ομοιότητα. Το αρχικό αποτέλεσμα όχι απλώς δεν είχε αναπαραχθεί, αλλά ούτε καν έμοιαζε με το καινούριο. Ο Λόρεντζ επανέλαβε την προσπάθεια χωρίς επιτυχία. Ίσως υπήρχε κάποιο μικρό λάθος στα αρχικά δεδομένα, σκέφτηκε, ίσως τα δεδομένα που είχαν εισαγάγει να ήταν ελαφρώς διαφορετικά από τα αρχικά. Όμως ακόμη και έτσι από την εποχή του Νεύτωνα ήταν γνωστό ότι τα μικρά σφάλματα είχαν μικρές επιπτώσεις. Στην περίπτωση αυτή, οι επιπτώσεις ήταν τεράστιες. Ουσιαστικά σε σύντομο χρονικό διάστημα, δεν υπήρχε η παραμικρή ομοιότητα με το αρχικό αποτέλεσμα. Ο Λόρεντζ αναρωτήθηκε πώς ήταν δυνατό να έχει προκύψει το σφάλμα. Συνειδητοποίησε λοιπόν ότι ενώ ο υπολογιστής εκτελούσε πράξεις χρησιμοποιώντας έξι σημαντικά ψηφία τύπωνε μόνο τα τρία (λ.χ., στον αριθμό 0,785432 τύπωνε 0,785). Ο Λόρεντζ έβαλε πάλι στον υπολογιστή τα τρία ψηφία εισάγοντας ένα σφάλμα λίγων χιλιοστών. Όμως, πώς ένα τόσο μικρό σφάλμα μπορούσε να έχει τέτοιες συνταρακτικές επιπτώσεις; Ο Λόρεντζ γνώριζε ότι βρισκόταν κοντά σε κάτι πολύ σημαντικό.

Η συνολική εικόνα που είχε επίσης πάρει στο χώρο των φάσεων ήταν μια έκπληξη: έμοιαζε με τα φτερά μιας πεταλούδας. Αφού σχεδίασε αρκετές χιλιάδες σημεία, προέκυψαν δύο λοβοί που έμοιαζαν με το αριστερό φτερό της πεταλούδας, και πέντε που έμοιαζαν με το δεξί. Σήμερα, η εικόνα αυτή είναι γνώστη ως το φαινόμενο της πεταλούδας. Ήταν εύκολο να διαπιστωθεί ότι ένα σημείο στο χώρο των φάσεων που κινιόταν γύρω από τους λοβούς δεν θα επαναλάμβανε ποτέ την κίνησή του: θα περιφερόταν ίσως γύρω από τον αριστερό λοβό και στη συνέχεια θα διέγραφε δύο φορές μια τροχιά γύρω από το δεξιό πριν επιστρέψει στον αριστερό. Ήταν αδύνατο όμως να προβλεφθεί σε ποια θέση το σημείο θα άρχιζε να διαγράφει τροχιά γύρω από το λοβό και ποιος λοβός θα ήταν αυτός. Η κίνησή του ήταν τυχαία ή χαοτική.

Μερικές φορές, το φαινόμενο της πεταλούδας παρερμηνεύεται στην κοινή αντίληψη. Για παράδειγμα, η ιδέα ότι κάτι τόσο ασήμαντο όσο μια πεταλούδα μπορεί να "προκαλέσει" έναν τυφώνα (ή να τον αποτρέψει) έχει θεωρηθεί από κάποιους ως επιχείρημα υπέρ της άποψης ότι ένα "ασήμαντο" άτομο, μια "περιθωριακή" ιδέα ή ένα φαινομενικά άσχετο γεγονός μπορούν να παίξουν έναν καθοριστικό ρόλο στην εξέλιξη της Ιστορίας. Ωστόσο, η ουσία της συμπεριφοράς ενός χαοτικού συστήματος είναι ότι, στην πράξη, είναι απρόβλεπτη σε "βάθος χρόνου". Συνεπώς, ενώ πράγματι ένα ασήμαντο γεγονός μπορεί να αλλάξει άρδην την πορεία της ιστορίας, δεν είμαστε σε θέση να ξέρουμε ποια θα ήταν η εξέλιξη του συστήματος χωρίς το γεγονός και άρα, δεν μπορούμε να σχεδιάσουμε τις ενέργειές μας ώστε να πετύχουμε ένα επιθυμητό σημαντικό αποτέλεσμα σε βάθος χρόνου - μπορούμε να προγραμματίζουμε αποτελεσματικά μόνο μέχρι τον χρονικό ορίζοντα που χαρακτηρίζει το σύστημα. Η γνώση ότι ένα ασήμαντο γεγονός οδήγησε σε κάτι "μεγάλο" μπορεί, μερικές φορές, να αποκτηθεί εκ των υστέρων, αν και συνήθως ακόμη κι αυτό είναι αδύνατον. Στο συγκεκριμένο παράδειγμα, η πεταλούδα δεν θα μπορούσε να "προκαλέσει" από μόνη της τον τυφώνα, παρά μόνο χάρη στις ατμοσφαιρικές συνθήκες που συνυπήρχαν με την επέμβασή της. Η άμεση αιτία ενός τυφώνα είναι αναγκαστικά "μεγάλη", κάτι που κάνει την βραχυπρόθεσμη μετεωρολογική πρόβλεψη δυνατή. Αν η πεταλούδα κινήσει τα φτερά της την "λάθος" στιγμή, είναι εξίσου πιθανό να αποτρέψει έναν τυφώνα που αλλιώς θα συνέβαινε (ή να οδηγήσει σε κάτι τελείως διαφορετικό). Για να "προκαλέσει" έναν τυφώνα, πρέπει να δράσει σε μια ακριβώς υπολογισμένη στιγμή - κάτι που ακριβώς είναι αδύνατον να προβλεφθεί.

Αναφορές:
[1] el.wikipedia.org/wiki/θεωρία_του_χάους
[2] physics4ugr/chaos/chaos3.html
[3] entercity.gr/countent/view/2579/224/
[4] ISBN 960-7990-04-8 Εκδοτικός οίκος Π. ΤΡΑΥΛΟΣ. Συγγραφέας BARRY PARKER. Τίτλος Χάος και αστρονομία.

Πηγή: Αθανασία Πορταρίτη Μαρία Παντελή, Ιστιαία 2011, gym-istiaias.eyv.sch.gr

Chaos Theory and the Butterfly Effect What is chaos and chaos theory In the last century there were three great scientific revolutions: relativity, quantum mechanics and Chaos theory. The first found the relationship between space and time, the second the principle of causality and the third explores the concept of predictability, how from similar initial assumptions very different conclusions can be derived. The word Chaos is used in different ways, in different situations, by different people. Another concept of chaos in religion or in ancient Greek philosophy or in our current era (chaos = dissolution, confusion, mess, disorder etc) or even in its representation with various Mandelbrot-type sets and another concept of chaos in science. In science, chaos is defined as the highly sensitive dependence of motion on initial conditions. Unexpected change in initial conditions is the element of chaos - disorder - that manifests itself in an orderly and stable natural process. That is, more precisely, chaos is the chaotic situation that results when the initial data of a dynamic system change even minimally. But in the new position in which the system will be driven by an "attractor", it will settle down and consolidate in a position whose predictability will again be impossible to express with eternal or deterministic laws. However, the word chaos expresses something common to all: instability and disorder. There are many examples from everyday life. Cigarette smoke swirling in complex and unpredictable vortices. The flow of water dripping from a faucet. The water of the waves crashing on a shore. The ink that spills into a glass of water in an unpredictable way. In astronomy we can have a random change of some property (orbital inclination, eccentricity of a planet's orbit, etc.). In biology, in sociology, in economics and finally in medicine we have similar manifestations of chaotic behavior. But the examples do not end here. The unpredictability of stock market prices, electrical circuits, the beating of the heart, the flow of water or blood through pipes, the changing populations of birds and plants are some areas in which chaos coexists. In the 1970s scientists began to approach the concept of disorder. Mathematicians, physicists, physiologists, biologists and chemists looked for connections between different kinds of irregularity. After the first surprises from the chaotic behavior of many models chaos mathematicians sought to understand the chaotic movements of everyday life. The weather changes. Fluctuations in wild animal populations. The evolution of prices on the stock market. They represent these uncontrolled phenomena with non-linear equations on a PC. And they discover the hidden order that defines them. Thus physiologists have found a surprising order in the chaos that develops in the human heart, the main cause of sudden death. Ecologists have investigated the appearance and disappearance of nomadic insect populations. Economists were looking at the prices of some products. Meteorologists studied the shape of the clouds, the paths of lightning in the air. And astrophysicists how stars are grouped into galaxies. In astronomy the realization of the existence of chaos in the solar system, even though we thought of it as a dynamic stable system--raises questions of whether chaos played a role in the formation of the solar system. So quickly the. scientists began to study chaos in applied science from the theory they had been doing until then. But chaos may characterize meteorological phenomena, social, political and biological dynamic systems, but from a philosophical point of view we live in an oasis of order in an ocean of chaos: On the one hand the chaos of indeterminacy in the microcosm and on the other the chaotic dynamics of the macrocosm, with planets moving in unpredictable orbits. Sudden motion of waves crashing on a shore. This movement creates a wild tangle of trajectories and spins, which, strangely enough, are not completely mischievous. They end up having a shape, a rudimentary geometric shape that chaos mathematicians call a strange attractor. Another example is the game of pinball, where the movements of the ball are precisely determined by the laws of rolling under the influence of gravity and elastic impact - both fully understood - but the end result is unpredictable. Until the end of the pre-last century, finding the orbit of each celestial body was done roughly, with the help of Newton's and Kepler's laws, since there were no computers for more precision. The motions of the planets and other heavenly bodies were considered periodic and regular like the motion of a tel iow pendulum. But at the end of the 19th century, the French mathematician and astronomer Henri Poincare (1854 - 1912), made a discovery that was to change the foundations of Newtonian mechanics, and thus constitute the birth of a new branch of science: Chaos. Specifically, Poincare found that the problem of the three bodies (he studied the problem of the Sun, the Earth and the Moon) was and remains unsolved. So, the orbit of any celestial body that receives the influence of two or more other bodies cannot be predicted. Therefore, the attempt to calculate the orbit of Pluto, for example, is not possible, since it receives the influence of the Sun and other eight planets. Poincare revealed the chaos in the Solar system and together he discovered the unpredictable evolution of a non-linear system. He understood that very small effects can be magnified through feedback. That is why he formulated the opinion "A small cause that escapes notice can produce a significant effect". The birth of chaos and unpredictability was a fact. But it took 80 years since then for astronomers and other scientists to realize the importance of this discovery. Chaotic movement There is no generally accepted definition of chaotic motion. The most widespread is that of Devaney, which is formulated as follows: To characterize the behavior of a system as chaotic, the system must exhibit the following properties: 1. must exhibit a sensitive dependence on the initial conditions 2. it must be topologically transitive 3. the set of periodic orbits must be dense Sensitivity to initial conditions means that two points in such a system can follow radically different trajectories in phase space, even if the difference in initial conditions is extremely small. Systems behave the same way only when the initial configuration is exactly the same. Essentially, this means that one needs to specify the initial conditions with infinite precision in order to predict how the system will behave beyond a limited "time horizon". In practice, of course, we can determine the initial conditions with only limited precision. Transitivity means that if we introduce a transformation on some interval I1, then the interval extends until it overlaps any other given interval I2. Transitivity, dense periodic points, and sensitivity to initial conditions can be extended to an arbitrary metric space. J. Banks and colleagues showed in 1992 that in the context of a general metric space, transitivity and dense periodic points imply sensitivity to initial conditions. The Lorentz attractor Attractive One way to visually represent chaotic motion, or any motion, is to construct a phase diagram of the motion. In such a diagram time is implicitly entered and a state variable is represented on each axis. For example, one could represent the position of a pendulum in relation to its velocity. A pendulum at rest will be drawn as a point and one in periodic motion will be drawn as a simple closed curve. When such a pattern forms a closed curve, the curve is called a trajectory. The pendulum can exhibit infinite such trajectories. Often phase diagrams reveal that the majority of trajectories end up approaching a common boundary. The system eventually performs the same motion for all initial states in a region around the motion, almost as if the system is attracted to that motion. Such an attractive motion is called an attractor of the system. Edward Lorenz Lorenz and the butterfly effect Lorenz was particularly interested in the weather. As a young man in West Hartford, Connecticut, he kept a diary in which he recorded weather changes and highs and lows. At the same time, he was fascinated by riddles and mathematics. Mathematical puzzles were a challenge for him. He liked to deal with them and spent a lot of time, as a result he acquired excellent abilities, so he decided to become a mathematician. But before he could even realize his dream, World War II broke out and Lorenz was drafted into the army. The Air Force, where he was stationed, may not have needed mathematicians, but there was a need for meteorologists, and so Lorentz began working on problems related to weather. He soon found the weather to be an enigma like many of the mathematical puzzles he had worked out, and within a short time he became exclusively interested in it. So when he was fired, he enrolled at Dartmoyth College where he earned a degree in meteorology. However, deep down he remained a mathematician and little years later, when he was at M.I.T. he saw an opportunity to connect mathematics with meteorology. Weather forecasting was a problem: meteorologists were only able to make predictions for a few days, but there was no hope of a long-term forecast. Was there a reason for this? Why was weather forecasting so impossible? The only way to give an answer was to construct a mathematical model of the weather with equations that would represent changes in temperature, pressure, wind speed, and so on. But the complexity of the weather made such a model impossible. Eventually, Lorenz devised 12 equations containing quantities such as pressure and temperature and was able to construct a first, rough model. But even so, the necessary calculations were complex. At that time, the first electronic computers had appeared. In the 1960s, computers were still inelegant oddities consisting of hundreds of vacuum tubes that overheated easily, making failures commonplace. But when they worked it was a real miracle: they performed hundreds of calculations per minute. Lorenz's computer was a Royal McBee. Although slow and coarse, he was irreplaceable to him. Lorenz watched impatiently as the machine continuously produced numbers representing various weather features. It was a complicated machine, creating weather conditions day after day, conditions that changed and never seemed to repeat themselves. But Lorenz was not satisfied: he was not learning as much about long-term weather forecasting as he had hoped, so he simplified his set of equations, focusing on convection and convection currents—one of the characteristics of weather. Transport currents are all around us. Warm air rises, while cold air descends, this happens every day in the atmosphere and the result is rain, snow, wind and more. According to Lorenz, transport currents were circular. Cold air descended from the top of the atmosphere toward one point of the circle, while warm air rose from areas near the Earth's surface toward the other side of the circle. Lorenz came up with three seemingly simple equations that represented the phenomenon of convection. Lorenz put them into the computer and got back a bunch of numbers that represented some characteristic of the weather. He then plotted these points on a graph and thus a continuous line emerged. Lorenz wanted to see if a long-term prognosis was possible. At that time, fast computers with large memory had just begun to be built, and a few years earlier the first satellites had been put into orbit. A new era seemed to be dawning. There was the possibility of global weather forecasting, and with the help of large enough computers a forecast could be expected for several months, which was a dream of many people. Was there an obstacle? Lorenz was sure that his model would provide some answer to this question and help clarify the problems that might arise, but he could not imagine how important it would prove to be. Every day he examined the seemingly random shapes his computer produced. Noticing one of them one day in 1961, he decided to repeat it. He entered the numerical results into the computer as initial conditions, expecting the result to be the same. Indeed, at first (for a few days) the results were quite similar, but soon they began to diverge, and to his great surprise after a while the two lines were so far apart that there was no similarity between them. The original result was not only not reproduced, but it didn't even look like the new one. Lorenz tried again without success. Maybe there was some small mistake in the original data, he thought, maybe the data they had entered was slightly different from the original. But even so it was known from Newton's time that small errors had small effects. In this case, the implications were huge. In essentially a short time, there was not the slightest resemblance to the original result. Lorenz wondered how the error could have occurred. So he realized that while the computer was performing operations using six significant digits it was printing only three (eg, in the number 0.785432 it was printing 0.785). Lorenz reentered the three digits into the computer, introducing an error of a few millimeters. But how could such a small error have such devastating effects? Lorenz knew he was close to something very important. The overall picture he had also taken in the phase space was a surprise: it looked like the wings of a butterfly. Fr After drawing several thousand points, two lobes emerged that resembled the left wing of the butterfly, and five that resembled the right wing. Today, this image is known as the butterfly effect. It was easy to see that a point in phase space moving around the lobes would never repeat its motion: it would perhaps orbit the left lobe and then sweep twice around the right before returning to the left . But it was impossible to predict at what point the point would begin to orbit the lobe and which lobe it would be. His movement was random or chaotic. Sometimes, the butterfly phenomenon is misinterpreted in the common perception. For example, the idea that something as insignificant as a butterfly can "cause" a hurricane (or prevent it) has been seen by some as an argument in favor of the view that an "insignificant" person, a "fringe" idea, or a seemingly irrelevant fact they can play a decisive role in the development of History. However, the essence of the behavior of a chaotic system is that, in practice, it is unpredictable in "time depth". Therefore, while indeed an insignificant event can drastically change the course of history, we are not in a position to know what the evolution of the system would have been without the event, and thus, we cannot plan our actions to achieve a desired significant outcome in time depth - we can only program effectively up to the time horizon that characterizes the system. The knowledge that an insignificant event led to something "big" can sometimes be acquired after the fact, though usually even this is impossible. In this particular example, the butterfly could not have "caused" the hurricane by itself, except thanks to the atmospheric conditions that coexisted with its intervention. The immediate cause of a hurricane is necessarily "big," which makes short-term weather forecasting possible. If the butterfly moves its wings at the "wrong" moment, it is just as likely to prevent a hurricane that would otherwise occur (or lead to something completely different). To "cause" a hurricane, it must act at a precisely calculated moment - something that is precisely impossible to predict. References: [1] el.wikipedia.org/wiki/chaos_theory [2] physics4ugr/chaos/chaos3.html [3] entercity.gr/countent/view/2579/224/ [4] ISBN 960-7990-04-8 Publishing house P. TRAVLOS. Author BARRY PARKER. Title Chaos and astronomy. Source: Athanasia Portariti Maria Panteli, Istiaia 2011, gym-istiaias.eyv.sch.gr