Μαθηματική Λογοτεχνία: Μαγικός συνδυασμός ή Ουτοπία;

πηγή: http://gerasimos-politis.blogspot.com/2011/11/blog-post_21.html#.UAlOTZE7c7o
Μαθηματική Λογοτεχνία: Μαγικός συνδυασμός ή Ουτοπία;
Ακούγοντας κάποιος τη φράση μαθηματική λογοτεχνία σίγουρα σαστίζει. Ο συσχετισμός μαθηματικών και λογοτεχνίας μοιάζει να είναι ένα εγχείρημα αντιφατικό. Αν όμως σκεφτεί λίγο καλύτερα αρχίζει, ίσως, να φαντάζεται πολύπλοκες εξισώσεις ενταγμένες σε ένα μυθιστορηματικό πλαίσιο. Όμως ούτε αυτό είναι μαθηματική λογοτεχνία. Πως όμως στην πράξη καταφέρνουν μαθηματικά και λογοτεχνία να συσχετιστούν; Οι ορισμοί των δύο εννοιών μας δίνουν μια πρώτη εικόνα των μεγάλων διαφορών που τις χωρίζουν.

Μαθηματικά: Το σύνολο των κανόνων με τους οποίους, μέσω συμπερασματικών λογισμών, μελετούμε τις ιδιότητες των αφηρημένων εννοιών και τις σχέσεις που υπάρχουν μεταξύ τους. Σύμφωνα με τον Ντεκάρτ «όλες οι επιστήμες που έχουν σκοπό την αναζήτηση της τάξης και του μεγέθους, υπάγονται στα μαθηματικά».Άγνωστο είναι το πότε έγινε χρήση των αριθμών για την καταμέτρηση αντικειμένων κι αν η χρήση αυτή προηγήθηκε από τη χρήση άλλων στοιχείων που είχε επινοήσει ο άνθρωπος για την απαρίθμηση.

Λογοτεχνία: Η τέχνη του λόγου, η ικανότητα να χειρίζεται κανείς τις αγωνίες και τα προβλήματα μιας εποχής, γι’ αυτό και είναι ο καθρέφτης της κάθε εποχής. Η λογοτεχνία ανήκει στις καλές τέχνες και αντλεί το περιεχόμενό της από τη ζωή, δεν είναι όμως ένα αντίγραφο ή μια απεικόνισή της. Ο λογοτέχνης παίρνει τα θέματά του από τον πλούσιο κόσμο της πραγματικότητας και της εμπειρίας και διαλέγει τους δικούς του εκφραστικούς δρόμους, δημιουργώντας μιαν αδιάσπαστη ενότητα περιεχομένου και μορφής, όπου το περιεχόμενο καθορίζει τη μορφή και η μορφή το περιεχόμενο.

Δύσκολα μπορεί κανείς να φανταστεί, πόσο μάλλον και να κατανοήσει, το πως μπορούν , η υποκειμενική κρίση στα δεδομένα, τα διπλά νοήματα και η ασάφεια που χαρακτηρίζουν τη λογοτεχνία, να συμβιβαστούν με την αυστηρότητα, τη σαφήνεια και την αντικειμενικότητα των μαθηματικών.

Αρχικά, θα αναφερθούμε στις ιστορικές στιγμές όπου μαθηματικά και λογοτεχνία συναντήθηκαν από την αρχαιότητα μέχρι τις μέρες μας, αλλά κυρίως θα επιχειρήσουμε ένα ταξίδι στη σύγχρονη μαθηματική λογοτεχνία. Ένα νέο είδος λογοτεχνικής παραγωγής που αξιολογείται, αυξάνεται και συμβαδίζει με την προσέγγιση στη λογική και στην καλή ποιότητα.

Από την αρχαιότητα μέχρι σήμερα, τα λογοτεχνικά κείμενα όταν αναφέρονται στα μαθηματικά επιδεικνύουν ιδιαίτερο σεβασμό. Ήδη από το 500 π.Χ. , στις αρχαίες τραγωδίες γίνεται αναφορά στους αριθμούς (π.χ. Αισχύλου Προμηθέας Δεσμώτης).

Όμως, όσο σεβασμό δείχνει η λογοτεχνία για τα μαθηματικά, τόσο σκωπτική διάθεση και ειρωνεία επιδεικνύει για τους μαθηματικούς. Τα κλισέ του «αφηρημένου μαθηματικού», του περιθωριακού τύπου που ζει «στον κόσμο του», είναι στοιχείο που υπάρχει ήδη από τα κλασικά χρόνια (415 π.Χ. , Όρνιθες Αριστοφάνη). Ο Αριστοφάνης ως κωμικός ποιητής, σατιρίζει διάφορους αθηναϊκούς χαρακτήρες κι ανάμεσά τους και μαθηματικούς.

Όμως , ο Αριστοφάνης σατιρικός ποιητής είναι και δουλειά του να διακωμωδεί τους πάντες. Ωστόσο, ανέκδοτα για τους μαθηματικούς αναφέρει ακόμα και ο Πλάτωνας που είναι γνωστό ότι τους σεβόταν. Eτσι, στο διάλογο Θεαίτητος διαβάζουμε:

ΣΩΚΡΑΤΗΣ: Όπως ακριβώς και ο Θαλής, Θεόδωρε, που ενώ παρατηρούσε τα άστρα κοιτάζοντας προς τα πάνω, έπεσε σ ’ ένα πηγάδι. Τότε, λένε, πως κάποια χαριτωμένη και σπιρτόζα υπηρέτρια απ ’ τη Θράκη τον κορόιδεψε, παρατηρώντας πως από το μεγάλο ζήλο του να μάθει για όσα είναι στον ουρανό, δε βλέπει αυτά που είναι μπροστά του κι ανάμεσα στα πόδια του. Το ίδιο πείραγμα ισχύει για όλους όσους ζουν φιλοσοφώντας. Πράγματι, ένας τέτοιος άνθρωπος, δεν προσέχει διόλου τον πλησίον του και το γείτονα, όχι μονάχα το τι αυτός πράττει, αλλά σχεδόν και αν είναι άνθρωπος ή τίποτε άλλο ζωντανό. Τον ενδιαφέρει μόνο το τι τάχα είναι ο άνθρωπος και τι είναι αυτό στην ανθρώπινη φύση που τη διαφοροποιεί από αυτή των άλλων όντων.

Όπως όλοι οι μαθητές στον κόσμο, έτσι κι εμείς έχουμε συναντηθεί με το Θαλή αρκετές φορές. Κάθε φορά όμως, ο καθηγητής μιλούσε για το θεώρημα, ποτέ για τον άνθρωπο, το πρόσωπο. Άλλωστε στο μάθημα τον μαθηματικών δεν συζητούσαμε ποτέ για τους ανθρώπους. Πού και πού κάποιο όνομα έβγαινε στην επιφάνεια: Θαλής, Πυθαγόρας, Ντεκάρτ. Ήταν όμως σκέτο όνομα. Σαν όνομα τυριού ή σταθμού του μετρό. Δεν μιλούσαμε ποτέ για το πότε ή το που συνέβει κάτι. Οι μαθηματικοί τύποι και οι αποδείξεις, απλώς προσγειωνόντουσαν στον πίνακα. Σα να μην τους είχε ποτέ κανείς δημιουργήσει, σα να ήταν εκεί πάντα, όπως τα βουνά και τα ποτάμια. Εδώ και τα βουνά είχαν κάποια ιστορία, κάποια αρχή. Θα’ λεγε κανείς ότι τα θεωρήματα ήταν διαχρονικότερα από τα βουνά και τα ποτάμια, όπως απολογείται κι ένας σπουδαίος μαθηματικός, ο G.H.Hardy: «Τον Αρχιμήδη θα τον θυμούνται όλοι, όταν ο Αισχύλος θα ξεχαστεί. Γιατί οι γλώσσες πεθαίνουν ενώ οι μαθηματικές αλήθειες είναι παντοτινές. Η λέξη «αθανασία», ίσως να είναι μια λέξη ανόητη, αλλά αν σημαίνει κάτι, αυτό το διεκδικεί πολύ περισσότερο απ ’ τον καθένα ο μαθηματικός.»

Τα μαθηματικά όμως, δεν είναι ούτε Ιστορία ούτε Γεωγραφία, ούτε Γεωλογία. Αλήθεια τι είναι; Η ερώτηση δεν μοιάζει να ενδιαφέρει πολύ κόσμο. Την εποχή του Θαλή, τον 6ο π.Χ. αιώνα, η φιλοσοφία και τα μαθηματικά ήταν αδιαχώριστα. Άλλωστε οι ίδιες οι λέξεις δεν υπήρχαν ακόμα. Δημιουργήθηκαν πολύ αργότερα και ακόμα πιο μετά, χωρίστηκαν οι έννοιες. Σήμερα όμως, όλος ο κόσμος λησμονεί ότι στη γέννησή τους ήταν ενωμένες.

Αξίζει να αναφερθούμε επίσης σε ένα λογοτεχνικό κείμενο του 5ου μ.Χ. αιώνα που αναφέρεται στο σύνολο των επιστημών της εποχής εκείνης. «Ο Γάμος του Ερμή και της Φιλολογίας». Ο θεός Ερμής νυμφεύεται την Φιλολογία. Οι επτά ελεύθερες τέχνες παρελαύνουν για να ευχηθούν και αυτοπαρουσιάζονται. Ανάμεσά τους και η Αριθμητική, που η παρουσίασή της καταλαμβάνει 58 από τις 379 σελίδες του έργου, καθώς και η Γ εωμετρία η οποία καταλαμβάνει 60 σελίδες.

Αργότερα, η παρουσία των μαθηματικών σε ένα μυθιστόρημα αρκείται στην ιδέα ότι «αφού είναι μαθηματικό είναι εγγυημένα αληθές, αλλά έτσι κι αλλιώς δεν το καταλαβαίνει κανένας» . Γίνεται δηλαδή επίκληση κάποιου συγκεχυμένου μαθηματικού όρου ή τύπου, που εξασφαλίζει τη νομιμοποίηση της φυσικής παρανομίας.

Θα χρειαστεί να περιμένουμε μέχρι τον 19ο αιώνα για να έχουμε ένα λογοτεχνικό έργο, αφιερωμένο εξ’ ολοκλήρου στα μαθηματικά. Η «επιπεδοχώρα» του Abbot περιγράφει ένα δισδιάστατο κόσμο, του οποίου τα κατώτερα κοινωνικά όντα είναι οι γυναίκες που είναι ευθύγραμμα τμήματα, είναι όμως πολύ επικίνδυνες γιατί με τα άκρα τους μπορούν εύκολα να σκοτώσουν οποιοδήποτε άλλο κάτοικο της Επιπεδοχώρας. Οι κατώτεροι κοινωνικά άνδρες είναι τρίγωνα. Όσο περισσότερο ανεβαίνει κανείς τόσο περισσότερες πλευρές αποκτά. Η αφρόκρεμα της κοινωνίας, το εκκλησιαστικό ιερατείο, είναι οι κύκλοι. Ένας από τους κατοίκους της επιπεδοχώρας ο Α. Square ονειρεύεται ότι βρίσκεται στη γραμμοχώρα, ένα μονοδιάστατο χώρο, όπου προσπαθεί με τρομερές δυσκολίες να περιγράψει στους κατοίκους της, τις δύο διαστάσεις. Την άλλη μέρα, τον επισκέπτεται στην Επιπεδοχώρα μια σφαίρα από την Χωροχώρα που τον ξεναγεί στον κόσμο των τριών διαστάσεων. Το βιβλίο αυτό αποτελεί την καλύτερη εισαγωγή στον χώρο των v διαστάσεων και βοηθά στην ενορατική αντίληψη της επέκτασης σε χώρους με περισσότερες από τρεις διαστάσεις.

Με την κατηγοριοποίηση της Μαθηματικής Λογοτεχνίας στα τέλη του 20ου αιώνα βρισκόμαστε σήμερα σε μια κυριολεκτική άνθησή της. Το φαινόμενο αυτό καταδεικνύει αναμφισβήτητα το αυξημένο ενδιαφέρον του κοινού αν όχι για τα μαθηματικά, τουλάχιστον γύρω από αυτά. Μπορεί βέβαια το ενδιαφέρον αυτό, να μη σημαίνει τη μεταστροφή προς το αρχέγονο δέος για τα μαθηματικά, αναμφίβολα όμως αποτελεί μια πρόκληση.

Έτσι, στην πρώτη κατηγορία ανήκουν τα μυθιστορήματα που έχουν ως βασικό τους θέμα τα μαθηματικά, δηλαδή η μυθοπλασία χρησιμοποιείται με σκοπό την ανάπτυξη, ή ακόμη και διδασκαλία μαθηματικών εννοιών. Στη κατηγορία αυτήν εντάσσεται, το μυθιστόρημα «Flatterland» του Ian Stewart, το οποίο αποτελεί μια συνέχεια του κλασσικού μυθιστορήματος «Flatland». Η περιπέτεια ξεκινά, όταν η ηρωίδα, Βικτόρια Line (γραμμή), ανακαλύπτει στη σοφίτα του σπιτιού της το σκοροφαγωμένο ημερολόγιο του προ-προπάππου της Albert Square (τετράγωνο). Η Βίκυ προσβάλλεται από τον ιό της Τρίτης Διάστασης, προς μεγάλη άγνοια των γονέων της, ακολουθώντας τα βήματα του προγόνου της στο εκτεταμένο σύμπαν της Τρίτης Διάστασης. Μία συναρπαστική ιστορία, γεμάτη δράση και «τάση φυγής» από το περιβάλλον, χαρίζει στον αναγνώστη μια εξωπραγματική διαδρομή, που ξεπερνά τα όρια του χρόνου και του χώρου.



Ένα ακόμη σπουδαίο βιβλίο του συγγραφέα Χρίστου Χ. Παπαδημητρίου, «Το Χαμόγελο του Τουρίνγκ», ανήκει στην ίδια κατηγορία. Ένα μυθιστόρημα τριγυρισμένο από μια «δροσερή» πνοή καλοκαιρινής περιπέτειας, που μυεί τον αναγνώστη στη δύναμη των μαθηματικών, της φιλοσοφίας, της πληροφορικής και της ζωής. Μια ακαταμάχητη δύναμη που μετασχηματίζει τη ζωή μας, σ’ όλες τις απόκρυφες πτυχές της: τον έρωτα, την πολιτική, ακόμη και το θάνατο, με τρόπους λεπτούς, πολύπλοκους, ριζικούς και τελικά λυτρωτικούς.

Ένα πλέγμα μυστηρίου και λογικής, εκτυλίσσεται στο μαθηματικό μυθιστόρημα του Denis Guedj : «Το θεώρημα του Παπαγάλου». Μια ανήσυχη, περιπετειώδης και συναρπαστική ιστορία, το Παρίσι, ταξιδιωτικές περιγραφές, μια παρέα που προσπαθεί να εξιχνιάσει το θάνατο ενός φίλου της και ένας φλύαρος παπαγάλος αποκαλύπτουν έναν μαγικό κόσμο των Μαθηματικών πολύ πιο «ανθρώπινο», απ’ όσα αφήνουν να φανεί, οι περίπλοκες εξισώσεις που συνήθως τον πλαισιώνουν.



Ένα πιο σύγχρονο μυθιστόρημα, είναι το “Once upon a number”, του John Allen Paulos, ο οποίος ισχυρίζεται ότι τα Μαθηματικά και η καθημερινή μας ζωή είναι αλληλένδετα και η μία περιοχή πληροφορεί την άλλη. Με άλλα λόγια, ο Paulos γράφει πως οτιδήποτε συμβαίνει στον κόσμο, μπορεί να περιγραφεί με μαθηματικό τρόπο. Χρησιμοποιώντας φανταστικούς διάλογους μεταξύ του Bernard Russel και του Grouho Marx, δείχνει πως η τακτική που χρησιμοποιούσε στις τρομοκρατικές πράξεις ο Unabomber, είναι προϊόν μαθηματικής ευφυΐας.

Ο Πιερ ντε Φερμά, μελέτησε το 17ο αι. το βιβλίο του Διοφάντου «Αριθμητικά» και στάθηκε στο Πυθαγόρειο Θεώρημα, σημειώνοντας στο περιθώριο της σελίδας τη φράση: «Έχω ανακαλύψει μια πραγματικά θαυμάσια απόδειξη, όμως το περιθώριο της σελίδας είναι πολύ στενό για να το αναπτύξω». Για τα επόμενα 350 χρόνια, η φράση αυτή του Φερμά, έγινε έμμονη ιδέα των διασημότερων μαθηματικών μυαλών, που από τότε ρίχνονται σ’ έναν φοβερό αγώνα για την επίλυση αυτού του μαθηματικού προβλήματος. Όλο αυτά εξετάζονται και αναλύονται στο βιβλίο του Simon Singh, «Το τελευταίο θεώρημα του Φερμά».



Στην ίδια επίσης κατηγορία κατατάσσονται και τα εξής: «Την κυρία ή την τίγρη;», «Ο Σατανάς, ο Cantor και το άπειρο»(R.Smullyan), « To βιβλίο κόλαση»(Carlo Frabetti), « To σπασμένο ζάρι» (Ivar Ekeland) κ.ά.


 

Στην δεύτερη κατηγορία ανήκουν τα μυθιστορήματα που αναφέρονται σε μαθηματικούς. Κάποιοι από τους χαρακτήρες είναι Μαθηματικοί και η πλοκή καθορίζεται από αυτή την ιδιότητα. Το διασημότερο και πολυδιαβασμένο έργο του Απόστολου Δοξιάδη, «Ο θείος Πέτρος και η εικασία του Γκόλντμπαχ», υπάγεται σ’ αυτή την κατηγορία. Το βιβλίο αυτό, περιγράφει τη ζωή ενός ανθρώπου που έχει αφιερωθεί στα μαθηματικά. Ο αφηγητής - ανιψιός του ανακαλύπτει ότι ήταν κάποτε φημισμένος μαθηματικός, τόσο ιδιοφυής και παράτολμος ώστε να ασχοληθεί με την περίφημη «Εικασία του Γκόλντμπαχ». Ένα γοητευτικό μαθηματικό μυστήριο, που ξεναγεί και κάποιον μαθηματικά αστοιχείωτο στον πανέμορφο κόσμο των μαθηματικών και σε μερικά από τα πλέον αξιόλογα μαθηματικά θεωρήματα όπως την «Υπόθεση του Riemann» και το «Θεώρημα της μη πληρότητας» του Gendel. Έργο υψηλής αξίας και μεγάλων πραγματεύσεων, που συναρπάζει........

Χρησιμοποιώντας τη φόρμα πανεπιστημιακού μυθιστορήματος, ο Philibert Schogt, μέσα από το βιβλίο του με τίτλο: «Οι άγριοι αριθμοί», μας εισάγει στον τρόπο σκέψης και δουλειάς όσων ασχολούνται με τα καθαρά μαθηματικά. Η σκληρότητα και το πνεύμα ανταγωνισμού που κυριαρχούν στα πανεπιστήμια, η ιδιωτική πορεία και η απομόνωση, που ακολουθούν οι ερευνητές στο δύσκολο δρόμο της γνώσης και της αυτογνωσίας, αποδίδονται με χιούμορ και ανάλαφρη γραφή που αφήνει όμως να διαφανεί η έντονη κριτική του συγγραφέα, «για τη θέση του μαθηματικού στη σύγχρονη κοινωνία των γιάπηδων, μια κοινωνία που όχι μόνο περιφρονεί και περιθωριοποιεί όσους δεν ασχολούνται με κάτι χρήσιμο και αποδοτικό, αλλά και θεωρεί καθήκον της να τους αναμορφώσει.», όπως γράφει στον πρόλογο του βιβλίου ο υπεύθυνος της μετάφρασής του, Τεύκρος Μιχαηλίδης.

Μέσα από την τρίτη κατηγορία, στην οποία ανήκουν οι μυθιστορηματικές βιογραφίες, ξεχωρίζει για το ενδιαφέρον που προκαλεί και τη δραματικότητά του, το έργο: « Ο Γάλλος μαθηματικός», του Tom Petsinis. Ένα βιβλίο που εξιστορεί την ταραχώδη και σύντομη ζωή του Εβαρίστ Γκαλουά, χρησιμοποιώντας δυνατό και σαγηνευτικό μυθιστορηματικό λόγο, που γίνεται αμέσως ελκυστικός και αξιοπρόσεχτος, από το γεγονός ότι αφηγητής είναι ο ίδιος ο Γκαλουά. Οι μαθηματικές ιδιοφυΐες είναι άνθρωποι του πνεύματος, είναι αλλόκοτοι, και το κυριότερο, είναι πολύ σπάνιοι. Στον Γάλλο μαθηματικό, ένας συγγραφέας με σπουδαίο μυθοπλαστικό ταλέντο, καταφέρνει να συνδυάσει τον πολύπλοκο τρόπο σκέψης του μαθηματικού νου, με τα γεγονότα μιας συγκλονιστικής περιόδου. (Εποχή Ναπολέοντα-εσωτερικές διαμάχες Γαλλίας ).

Μία ακόμη μυθιστορηματική βιογραφία του ομώνυμου είδους, είναι και το έργο του G.H.Hardy, «Η απολογία ενός μαθηματικού».



Τέλος, σε μια τέταρτη κατηγορία υπάγονται τα έργα που προβάλλουν Εκλαϊκευμένα τα μαθηματικά. Δηλαδή, έργα που αναφέρονται σε μαθηματικά απλουστευμένης, κατά κάποιο τρόπο, μορφής, με σκοπό την κατανόηση των εννοιών που παρουσιάζουν ακόμη κι από ένα άτομο μαθηματικά αστοιχείωτο. Στο βιβλίο του «Η γοητεία των μαθηματικών», ο Serge Lang περιλαμβάνει τρεις συζητήσεις που είχε με το κοινό κατά τις επισκέψεις του στο Palais de la Decouverte του Παρισίου. Στις σελίδες του βιβλίου ο Lang καταφέρνει με αξιοθαύμαστη δεξιοτεχνία να μεταδώσει σε ένα κοινό χωρίς ιδιαίτερες μαθηματικές γνώσεις, σημαντικά μαθηματικά ζητήματα όπως τους πρώτους αριθμούς, τις διοφαντικές εξισώσεις καθώς και τη γεωμετρία των ν -διαστάσεων.

Σε αυτό το είδος, επίσης, κατατάσσονται και τα έργα: «Ο Ταξιδευτής των μαθηματικών» και « Η μουσική των πρώτων αριθμών».

O κοινός δρόμος ανάμεσα στα μαθηματικά και τη λογοτεχνία, ξεκίνησε από το συνέδριο «Μαθηματικά και Αφήγηση» που πραγματοποιήθηκε στη .....Μύκονο και συνεχίζει να χαράζεται από πολλούς μαθηματικούς - συγγραφείς , ανάμεσά τους, ο Απόστολος Δοξιάδης, ο Τεύκρος Μιχαηλίδης, ο Barry Mazur, ο John Barrow, o Marcus du Sautoy, o Timothy Gowers και πολλοί άλλοι.



Εμείς επιχειρήσαμε μια πλοήγηση στις ιστορικές στιγμές όπου μαθηματικά και λογοτεχνία συναντήθηκαν και στις αναφορές της σύγχρονης μαθηματικής λογοτεχνίας. Πρέπει να ομολογήσουμε, πως κατά την πρώτη επαφή με το αντικείμενο αυτό, που συνδυάζει και ταυτόχρονα διατηρεί την μοναδικότητα δύο τόσο διαφορετικών, οπτικά, αλλά και τόσο συνταιριασμένων ειδών, Λογοτεχνίας και μαθηματικών, αισθανθήκαμε έκπληξη και διάθεση για ένα βήμα τολμηρό. Όπως όμως αποδείχθηκε κατά τη διάρκεια της ενασχόλησής μας με το θέμα αυτό, κατανοήσαμε πως τα δύο αυτά είδη, έχουν μεταξύ τους μια έμμεση αλλά και άμεση συγγένεια. Το γεγονός αυτό, τεκμηριώνεται από τα αρχαία ακόμη χρόνια, κατά τα οποία μόλις έκανε την εμφάνισή του, και από τη διαχρονικότητά της πορείας που ακολούθησε. Ο συνδυασμός της υποκειμενικότητας και της αντικειμενικότητας, της ασάφειας και της σαφήνειας, της ελευθερίας και του περιορισμού, πραγματοποιείται τελικά μ’ έναν απόλυτα αρμονικό τρόπο, που ελκύει και απογειώνει ενώ ταυτόχρονα συγκρατεί και επιβεβαιώνει σκέψεις ,που οδηγούν σε συμπεράσματα

Στον πρόλογό μας αναφέραμε τις έννοιες που ορίζουν τη Λογοτεχνία και τα Μαθηματικά. Όσο κι αν ερευνήσαμε κατά καιρούς, σε διάφορες πηγές ,έναν ορισμό που να χαρακτηρίζει την ένωση των δύο αυτών ειδών, στάθηκε αδύνατο να βρούμε μια ακριβή διατύπωση. Ίσως τελικά, ο όρος Μαθηματική Λογοτεχνία να σημαίνει τη δημιουργία έργων, που μέσα από το λογοτεχνικό είδος αναφέρονται, αφηγούνται ή αποβαίνουν στα μαθηματικά. Έργα που προβάλλουν τη συνεργασία και το συναγωνισμό των δύο εννοιών.

Tα μαθηματικά στη ζωγραφική και στην αρχιτεκτονική

Αν και τα μαθηματικά και η ζωγραφική είναι δύο έννοιες διαφορετικές μπορούν να συνδυαστούν και να δώσουν εντυπωσιακές και αξιοθαύμαστες δημιουργίες. Ιστορικά, μολονότι τα μαθηματικά θεωρούνται κυρίως λογική έχουν παίξει σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της τέχνης που απευθύνεται στο συναίσθημα.

Τα μαθηματικά και η ζωγραφική συναντώνται αρχικά στην τεχνική του κυβισμού. Ο όρος χρησιμοποιήθηκε πρώτη φορά ως κοροϊδευτικό σχόλιο για έναν πίνακα του Μπρακ με σπίτια που έμοιαζαν με κύβους. Οι κύριοι εκπρόσωποι του, ο Πικάσσο (1881 - 1973) και ο Μπρακ (1882 - 1963), αντλούν τα πρότυπά τους από την αυστηρά γεωμετρική αφρικανική τέχνη, αλλά και από την πορεία του Cezanne, στο έργο του οποίου μελετούν και εξετάζουν τη χρήση της δομής μορφής, για να φτάσουν σε μια νέα λογική απόδοση των πραγμάτων, η οποία βασίζεται στην απλοποίηση και τη γεωμετρική διάσπαση των αντικειμένων. Επειδή, αυτοί οι δύο καλλιτέχνες συνεργάστηκαν πολύ καιρό, μερικά από τα έργα τους δεν μπορούμε να ξεχωρίσουμε ποιος από τους δύο το ζωγράφισε.



Ο Κυβισμός γεννήθηκε ουσιαστικά με το έργο του Πικάσσο, «Δεσποινίδες της Αβινιόν», που ζωγράφισε ανάμεσα στο 1906 και στο 1907. Σ’ αυτό τον πίνακα ο συμβολισμός του 1906 συνυπάρχει με τη νέα πλαστική, που σηματοδοτεί την αρχή των κυβιστικών αναζητήσεων. Ο ζωγράφος προσπάθησε, μέχρι το τέλος του 1907, να βρει με ποιες τροποποιήσεις θα μπορούσε να δώσει στο έργο μεγαλύτερη ομοιογένεια, αλλά έκρινε ότι τα αποτελέσματα της προσπάθειάς του δεν ήταν ικανοποιητικά και ο πίνακας διατήρησε την αρχική του μορφή.



Τα θέματα του κυβισμού είναι κυρίως νεκρή φύση, μουσικά όργανα, μπουκάλια, ποτήρια, τραπεζάκια παρισινών καφέ, αφού δεν τους ενδιέφερε ούτε η απεικόνιση ούτε η αφήγηση αλλά η διανοητική απόδοση των πραγμάτων, η ανάλυση της φόρμας, του χρώματος και του φωτός. Τα έργα του χαρακτηρίζονται επίσης απ’ τη ρυθμική σύνθεσή τους πάνω σε γεωμετρικές χαράξεις και από το σκούρα χρωματισμό γκρι και ώχρας ο οποίος κυριαρχεί. Παρ’ όλο που μπορεί ο κυβισμός να φαίνεται αφηρημένη και γεωμετρική τέχνη, απεικονίζει υπαρκτά αντικείμενα. Οι κυβιστές ζωγράφοι αναζήτησαν καινούργιες σχέσεις ανάμεσα στη πραγματικότητα και στη ψευδαισθητική της αναπαράσταση και έτσι αρνούνται να ‘εξαπατήσουν’ το μάτι και να παρουσιάσουν τα πράγματα ‘’σαν πραγματικά’’. Αφού η ζωγραφική επιφάνεια είναι δισδιάστατη, κάθε ψευδαισθητική παράσταση βάθους είναι ψευδής. Ψευδής όμως ή ελλιπής είναι και η παρουσίαση ενός αντικειμένου μόνο από τη μία του όψη. Το αντικείμενο έχει ταυτόχρονα μπρος, πίσω, μέσα και έξω.

Ουσιαστικά αυτή η επίθεση κατά της οπτικής πραγματικότητας είναι η συνέπεια της διαπίστωσης ότι τα αντικείμενα κι ο φυσικός κόσμος δεν εξαντλούνται μόνο με το εξωτερικό τους, αφού τα αντικείμενα περισσότερο κρύβουν παρά αποκαλύπτουν την ουσία των πραγμάτων. Έτσι στον κυβισμό περιέχονται η κίνηση κι ο χρόνος, ενώ το αντικείμενο απεικονίζεται όχι όπως φαίνεται πραγματικά αλλά όπως υπάρχει στο πνεύμα του παρατηρητή, ή μάλλον δίνονται τόσα στοιχεία, όσα χρειάζονται για να αναγνωρισθεί με τις προσλαμβάνουσες παραστάσεις και τις γνώσεις που έχει για αυτό ο παρατηρητής.

Λίγα χρόνια αργότερα ανεξάρτητα από την τεχνική του κυβισμού δραστηριοποιείται ο διάσημος Ισπανός σουρεαλιστής ζωγράφος Salvator Dali (1904 -1982) ο οποίος χρησιμοποίησε στους πίνακές του σχέδια με έντονα γεωμετρικά και τοπολογικά στοιχεία. Σε πολλά έργα του ο Dali απεικόνισε τον τετραδιάστατο χώρο στο χώρο των δύο διαστάσεων.



Για παράδειγμα, στο έργο «Σε αναζήτηση της τέταρτης διάστασης» υπάρχουν στοιχεία τοπολογίας και τετραδιάστατης γεωμετρίας, έτσι που ο πίνακας φαίνεται να κινείται γύρω από μια υπερσφαίρα. Ο Νταλί εργάστηκε με όλα τα μέσα, αφήνοντας πίσω του ένα πλούσιο υλικό, αποτελούμενο από ελαιογραφίες, σχέδια, υδατογραφίες, γραφικά, κοσμήματα και αντικείμενα κάθε είδους. Ο ίδιος έλεγε για το έργο του: «Η δουλειά μου δεν είναι παρά μια αντανάκλαση, αυτών που καταφέρνω, αυτών που γράφω και σκέφτομαι. Όλη η ζωγραφική μου είναι ένα ψήγμα της συνολικής κοσμογονίας μου».

Όταν όμως αναφερόμαστε στον όρο «μαθηματική τέχνη» το μυαλό μας πηγαίνει κυρίως στον Ολλανδό καλλιτέχνη Maurits Cornelius Escher (1898 - 1972), που δημιούργησε μοναδικά και συναρπαστικά έργα τέχνης βασισμένα σε μαθηματικές ιδέες. Έτσι, ο Escher δίκαια ονομάστηκε πατέρας της μαθηματικής τέχνης. Χωρίζοντας το επίπεδο με κυματιστές σειρές πουλιών, ψαριών, ερπετών, θηλαστικών και ανθρώπων κατάφερε να δημιουργήσει μεγάλη ποικιλία καταπληκτικών εικόνων, οι οποίες βασίζονται σε νόμους της συμμετρίας, της θεωρία συνόλων, της προοπτικής, της τοπολογίας και της κρυσταλλογραφίας. Τα έργα του είναι λιθογραφίες, ξυλογλυφίες, ξυλογραφίες και χαλκογραφίες.

Όμως, ο Escher είναι περισσότερο γνωστός στους κρυσταλλογράφους για την πετυχημένη ψηφιδωτή τέχνη με την οποία χωρίζει το επίπεδο. Ακόμα κατά τη διάρκεια της δουλείας του δημιούργησε πολλά έργα με αντανακλάσεις, με κρυστάλλινα σχήματα και με σφαίρες. Οι περισσότεροι πίνακες του είναι ασπρόμαυροι χωρίς όμως αυτό να επηρεάζει την καλλιτεχνική και μαθηματική τους αξία. Στην προσπάθεια να κατανοήσουμε την ιδιαίτερη τέχνη του Escher αξίζει να αναφερθούμε πιο αναλυτικά στους σημαντικότερους πίνακες του.



Στη «Σχετικότητα» ασκούνται τρεις δυνάμεις της βαρύτητας και συνδέονται η μια με την άλλη. Τα τρία επίπεδα της γης διαπερνούν το κάθε επίπεδο από τη δεξιά γωνία. Είναι απίθανο στο φυσικό περιβάλλον διαφορετικών επιπέδων να περπατάς ή να κάθεσαι ή να στέκεσαι γιατί υπάρχει διαφορετικη αντίληψη στο τι είναι οριζόντια και στο τι είναι κάθετα. Παραδόξως οι άνθρωποι μοιράζονται το ίδιο χώρο και τις ίδιες σκάλες.

Σ’ έναν πίνακα με πολλές συμμετρίες στην «Μέρα και Νύχτα» το γκρίζο ορθογώνιο φόντο αναπτύσσεται προς τα πάνω σε σκιαγραφήματα (ή περιγράμματα) των άσπρων και μαύρων πουλιών· τα μαύρα πετάνε προς τα αριστερά και τα άσπρα προς τα δεξιά, με έναν αντίθετο σχηματισμό. Στα αριστερά της εικόνας τα άσπρα πουλιά πέρασαν από εκεί μαζί και μετέβαλλαν το ύφος της πλευράς σε έναν ουρανό μέρας που έχει πολύ φως. Τη δεξιά πλευρά, τα μαύρα πουλιά τη σβήνουν μαζί και τη μετατρέπουν σε νύχτα. Το ημερήσιο και το νυχτερινό τοπίο είναι καθρέφτες της εικόνας της κάθε πλευράς με τη βοήθεια του ανοιχτού και σκούρου γκρι. Παρατηρήστε, επίσης, ότι κοιτώντας τον πίνακα από πάνω προς τα κάτω, τα πουλιά μετατρέπονται σε χωράφια

Στον πίνακα «Ερπετά» φαίνεται η κυκλική ζωή ενός αλιγάτορα. Μεταξύ όλων των ειδών των αντικειμένων, ένα μπλοκ ζωγραφικής στο οποίο ξεχωρίζει η ζωγραφισμένη εικόνα μιας μορφής μωσαϊκού ερπετού. Ένα απ’ αυτά κουράζεται αυτό το επιπεδικό ψέμα ξεφεύγει παιχνιδιάρικα από τη φυλακή των δύο διαστάσεων και βγαίνει στις τρεις διαστάσεις, δηλαδή στη κανονική ζωή. Μετά αφού σκαρφάλωσε στα αντικείμενα που βρισκόταν γύρω του κουράστηκε και ξανά έπεσε στη ζωγραφισμένη εικόνα.

Σ' έναν άλλον ιδιαίτερο πίνακά του στο «Χέρι με σφαιρική αντανάκλαση» φαίνεται το χέρι του ζωγράφου που κρατάει μία μπάλα και αντανακλά πάνω του. Σ’ αυτό το καθρέφτη σχηματίζεται μια πιο ολοκληρωμένη θέα απ’ αυτά που τον περιβάλλουν απ’ ότι σε έναν ίσιο καθρέφτη. Υπάρχουν τέσσερις τοίχοι, ένα πάτωμα και ένα ταβάνι στο δωμάτιο. Το κεφάλι του και πιο συγκεκριμένα το σημείο που είναι ανάμεσα στα μάτια του, βρίσκεται ακριβώς στο κέντρο της σφαίρας. Όπως και να γυρίσει τον σφαιρικό καθρέπτη ο ίδιος παραμένει στο κέντρο. Το εγώ του είναι ο σταθερός πυρήνας του κόσμου του.

Η δουλειά του Escher πέρασε σχεδόν απαρατήρητη μέχρι τη δεκαετία του 1950, αλλά μέχρι το 1956 είχε κάνει τη πρώτη του σημαντική έκθεση, είχε γράψει γι’ αυτόν το περιοδικό Times, και είχε αποκτήσει παγκόσμια φήμη. Ανάμεσα στους μεγαλύτερους θαυμαστές του ήταν και μαθηματικοί, οι οποίοι αναγνώριζαν στη δουλειά του μια εκπληκτική απεικόνιση των μαθηματικών αρχών. Το πιο σημαντικό πράγμα ήταν ότι ο Escher δεν είχε επίσημη μαθηματική εκπαίδευση πέραν του γυμνασίου. Όσο η δουλειά του εξελισσόταν, αντλούσε μεγάλη έμπνευση από τις μαθηματικές ιδέες για τις οποίες διάβαζε, συχνά δουλεύοντας απ’ ευθείας από δομές της επιπεδομετρίας και προβολικής γεωμετρίας. Επίσης τον συνάρπαζαν τα παράδοξα και «αδύνατα» σχήματα, και αυτό τον βοήθησε να δημιουργήσει πολλά περίεργα έργα τέχνης. Έτσι, για ένα φοιτητή των μαθηματικών ο Escher περικλείει δύο τομείς: τη γεωμετρία του χώρου και αυτό που θα μπορούσαμε να αποκαλέσουμε «λογική του χώρου».

Γίνεται εύκολα αντιληπτό ότι ο Escher γοητευόταν από κάθε είδους ψηφιδώσεις - συμμετρικές και μη - και απολάμβανε ιδιαιτέρως αυτές που αποκαλούσε «μεταμορφώσεις» στις οποίες τα σχήματα άλλαζαν και αλληλεπιδρούσαν μεταξύ τους, και μερικές φορές απελευθερώνονταν βγαίνοντας από την επιφάνεια. Οι περισσότερες ψηφιδώσεις είναι ασύμμετρα πολύγωνα που διαιρούν τις επιφάνειες



Ο Escher εκμεταλλεύτηκε αυτά τα βασικά σχέδια στις ψηφιδώσεις του εφαρμόζοντας αυτό που οι γεωμέτρες θα αποκαλούσαν αντανακλάσεις, κυλιόμενες αντανακλάσεις, μεταφορές και περιστροφές. Αυτό το έκανε για να αποκτήσει μεγαλύτερη ποικιλία σχεδίων. Επίσης, έκανε αυτά τα σχήματα πιο περίπλοκά, «διαστρεβλώνοντας» τα και μεταμορφώνοντάς τα σε ζώα, πουλιά και άλλες μορφές. Αυτές οι διαστρεβλώσεις έπρεπε να υπακούουν στην τριπλή, τετραπλή ή εξαπλή συμμετρία (δηλαδή αυτές η συμμετρίες προέρχονται από τα τρίγωνα, τετράγωνα και εξάγωνα) του βασικού σχήματος έτσι ώστε να διατηρηθεί η ψηφίδωση. Το αποτέλεσμα μπορεί να είναι και εντυπωσιακό και όμορφο.

Ο ίδιος ο Escher υποστήριζε : «Αν μου δίνουν μεγαλύτερη χαρά οι δικές μου μικρές εικόνες απ’ ότι η ωραιότερη φωτογραφική μηχανή στον κόσμο τότε ίσως είμαι στο σωστό δρόμο.»

Εκτός από τη ζωγραφική μεγάλη είναι η συνεισφορά των μαθηματικών σε ποικίλες μορφές της ζωής και της τέχνης.

Αξίζει, για παράδειγμα να ασχοληθούμε με έναν από τους πιο διάσημους αριθμούς. Τον αριθμό Φ, ο οποίος είναι γνωστός ως «λόγος της χρυσής τομής». Ας υποθέσουμε ότι θέλουμε να χωρίσουμε ένα ευθύγραμμο τμήμα σε δύο άνισα μέρη, κατά τρόπο ώστε η αναλογία του συνολικού του μήκους προς το μήκος του μεγαλύτερου μέρους να ισούται με την αναλογία του μήκους του μεγαλύτερου μέρους προς το μήκος του μικρότερου, στο σχήμα μας δηλαδή, θέλουμε ο λόγος ΑΓ δια ΑΒ να ισούται με το λόγο ΑΒ δια ΒΓ. Η τομή στο Β, η "χρυσή τομή" δηλαδή, είναι εκείνη η οποία επιτυγχάνει το αποτέλεσμα αυτό, και στη μοναδική αυτή χρυσή τομή ο λόγος ΑΓ/ΑΒ και ΑΒ/ΒΓ ισούται πάντοτε (ανεξάρτητα φυσικά από το μήκη των εκάστοτε ευθύγραμμων τμημάτων) με 1,62 δηλαδή με το Φ.



Την αρμονικότητα που αποπνέει ο αριθμός Φ τη γνώριζαν και την αξιοποίησαν ποικιλοτρόπως οι αρχαίοι Έλληνες, φτάνοντας την στο έπακρο με τη σύλληψη της αρχιτεκτονικής του Παρθενώνα, οι αναλογίες του οποίου βασίζονται στο Φ.



Το Φ έχει, επίσης συσχετιστεί, περισσότερο ή λιγότερο άμεσα, με πλήθος φυσικών μεγεθών, φαινομένων ή ανθρώπινων εκδηλώσεων, όπως πχ με τις αναλογίες του ανθρώπινου σώματος, την πορεία του δείκτη τιμών των χρηματιστηρίων και άλλων χαοτικών φαινομένων, τις τροχιές των πλανητών γύρω από τον Ήλιο, το σχήμα των πιστωτικών καρτών, τη γεωμετρική δομή των κρυστάλλων, τις χρωματικές και σχεδιαστικές αναλογίες έργων μεγάλων ζωγράφων όπως ο Leonardo da Vinci, τους βιορυθμούς του ανθρώπινου σώματος και τον καρδιακό ρυθμό, τα σωματικά χαρακτηριστικά διαφόρων ζώων, τη σταθερά Feigenbaum της Χαολογίας, τα θεολογικά κείμενα διαφόρων θρησκειών και πολλά άλλα ακόμη.

Χαρακτηριστική είναι επίσης η σχέση μεταξύ μαθηματικών και αρχιτεκτονικής. Η πυραμίδα του Χέοπα, για παράδειγμα είναι μια τεράστια δομή που συμβολίζει το Ιερό Βουνό και τον παγκόσμιο αγώνα της ανθρωπότητας να φτάσει στον ουρανό. Είναι η "εικόνα του κόσμου" και περιέχει τις τέσσερις κατευθύνσεις του διαστήματος. Πέρα από την αρχιτεκτονική μοναδικότητα και μεγαλείο, η μεγάλη πυραμίδα θεωρείται από εσωτεριστικές πηγές ως ένα σύμβολο που περικλείει μυστηριώδεις αναλογίες και αριθμούς που κωδικοποιούν τα μυστήρια του Κόσμου.



Μεγάλο ενδιαφέρον παρουσιάζουν και οι οικοδομικές κατασκευές των Ινδιάνων. Τα περισσότερα οικοδομήματα έχουν βρεθεί στις ανατολικές ΗΠΑ. Και τα περισσότερα είναι κωνικά. Συνήθως πρόκειται για κόλουρες τετράπλευρες πυραμίδες. Η πιο μεγάλη -ύψους γύρω στα 30 μέτρα και με βάση γύρω στα 210 μέτρα - βρίσκεται στο Ιλινόις. Η Γεωμετρία των ιθαγενών Ινδιάνων της Β. Αμερικής είναι μια φυσική, αναλογική γεωμετρία που δημιουργείται από τον απλό κύκλο. Αρχιτεκτονικά και εικονογραφικά στοιχεία, αποδεικνύουν ότι ήταν μια κοινή παράδοση που μεταβιβάζονταν και έβρισκε εφαρμογή για τουλάχιστον 2.000 χρόνια. Πρόκειται για τον ίδιο τύπο γεωμετρίας που ανακαλύφθηκε και αναπτύχθηκε σε διάφορα σημεία της υφηλίου, απ' την Κίνα και τη λεκάνη της Μεσογείου μέχρι και τα Βρετανικά νησιά.

Πολύ αργότερα το χαρακτηριστικότερο "μαθηματικό" παράδειγμα στην αρχιτεκτονική της Αναγέννησης είναι ο Palladio, ο οποίος χρησιμοποίησε αρμονικές αναλογίες για την τρισδιάστατη χάραξη των δωματίων στις σπουδαιότερες βίλλες του. Ξεχώρισε επτά ιδανικές μορφές δωματίων: Το κυκλικό, το τετράγωνο, και άλλες πέντε μορφές, με αναλογίες πλευρών, διαγωνίων και συνδυασμούς τετραγώνων.

Στις μέρες μας η αρχιτεκτονική και τα μαθηματικά συμβαδίζουν. Χαρακτηριστικότερο παράδειγμα είναι τα κυβιστικά σπίτια που κοσμούν μεγάλες ευρωπαϊκές πόλεις όπως η Πράγα, το Ρότερνταμ και άλλες. Επίσης, τα μεγάλα σύγχρονα αρχιτεκτονικά οικοδομήματα σε όλο τον κόσμο βασίζονται σε βασικές μαθηματικές έννοιες όπως τα κανονικά πολύγωνα, η τριγωνομετρία και οι συμμετρίες.



Είναι περίεργο πως παρατηρώντας τις καλές τέχνες μέσα από τα μαθηματικά όχι μόνο δεν διακρίνεις ένα πολύπλοκο κόσμο με δυσνόητες εξισώσεις, αλλά αντίθετα ανακαλύπτεις ένα κόσμο φαντασίας, ένα κόσμο μαθηματικών και ένα κόσμο της αληθινής μας ζωής. Ο Picasso και ο Brucke, o Dali και ο Escher και πολλοί άλλοι δημιούργησαν τέχνη χρησιμοποιώντας μαθηματικά. Μήπως και τα ίδια τα Μαθηματικά είναι τέχνη;

Μαθηματικά - Μουσική

Τα μαθηματικά και η μουσική είναι δυο επιστήμες που έχουν πολύ μεγάλη σχέση μεταξύ τους. Από την αρχαιότητα ακόμη οι δύο τέχνες αλληλεπιδρούν μεταξύ τους και η αλληλεπίδραση αυτή φτάνει ως τις μέρες μας. Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26 ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή της πυθαγόρειας σχολής - σκέψης. Ο φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι πως ο ίδιος και οι μαθητές του εντρύφησαν στη σχέση της μουσικής και των αριθμών μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο.

Όπως φαίνεται από το όνομά του, το μονόχορδο ήταν ένα όργανο με μία χορδή και ένα κινητό καβαλάρη που διαιρούσε τη χορδή επιτρέποντας μόνο ένα τμήμα της να ταλαντώνεται, που από αρκετούς μελετητές τοποθετείται στην οικογένεια του λαούτου με βραχίονα, δηλαδή χέρι. Το μονόχορδο χρησιμοποιήθηκε για τον καθορισμό των μαθηματικών σχέσεων των μουσικών ήχων. Ονομάζονταν και "Πυθαγόρειος κανών" γιατί απέδιδαν την εφεύρεσή του στον Πυθαγόρα. Πολλοί μεγάλοι μαθηματικοί εργάσθηκαν για τον υπολογισμό των μουσικών διαστημάτων πάνω στον κανόνα, όπως ο Αρχύτας (εργάσθηκε στις αναλογίες των διαστημάτων του τετραχόρδου στα τρία γένη, διατονικό, χρωματικό και εναρμόνιο και ανακάλυψε το λόγο της μεγάλης τρίτης στο εναρμόνιο γένος), ο Ερατοσθένης ο Δίδυμος (σ' αυτόν αποδίδεται ο καθορισμός του "κόμματος του Διδύμου", που είναι η διαφορά μεταξύ του μείζονος τόνου (9/8) και του ελάσσονος (10/9) δηλαδή 81/80).



Ήταν εντυπωσιακό το γεγονός ότι μόνο οι ακριβείς μαθηματικές σχέσεις έδιναν αρμονικούς ήχους στο μονόχορδο. Για παράδειγμα, έπρεπε να χωρίσουν ακριβώς στη μέση τη χορδή, και όχι περίπου στη μέση, ώστε να έχουν το ευχάριστο ψυχικό συναίσθημα που απορρέει από έναν αρμονικό ήχο. Εύκολα λοιπόν οι Πυθαγόρειοι κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι τα μαθηματικά κυβερνούν τη μουσική ή και ότι, ως ένα βαθμό, η μουσική κυβερνά τα μαθηματικά . Για τους Πυθαγορείους, αυτή η άμεση και ακριβής σχέση μαθηματικών, μουσικής και ευχάριστου ψυχικού συναισθήματος αποτελούσε τη μέγιστη απόδειξη ότι η αλήθεια, στο ύψιστο επίπεδό της, εκφράζεται με μαθηματικές σχέσεις. Πίστευαν, μάλιστα, ότι η ψυχή, μέσα από τα μαθηματικά και τη μουσική, μπορούσε να εξυψωθεί ώσπου να ενωθεί με το σύμπαν και ότι ορισμένα μαθηματικά σύμβολα έχουν αποκρυφιστική σημασία. Η εμμονή των Πυθαγορείων στους ρητούς αριθμούς ήταν εκείνη που περιόρισε τους ορίζοντές τους και τους οδήγησε στο συμπέρασμα ότι ο κόσμος που μας περιβάλλει είναι δομημένος με βάση την τέλεια αρμονία των πάντων. Ωστόσο, στις αρχές της αρμονίας των Πυθαγορείων βασίστηκε η ευρωπαϊκή μουσική μέχρι, τουλάχιστον, τη στιγμή που ο Γιόχαν Σεμπάστιαν Μπαχ, μέσω της σύνθεσής του "Καλοσυγκερασμένο Κλειδοκύμβαλο" πρότεινε την υποδιαίρεση της οκτάβας σε δώδεκα ημιτόνια.

Η μουσική των σφαιρών

Οι Πυθαγόρειοι πίστευαν ότι οι πλανήτες (σφαίρες), καθώς ταξιδεύουν στον ουρανό, παράγουν μουσική λόγω της τριβής τους με το γαλαξιακό αιθέρα. Πίστευαν, συγκεκριμένα, ότι η Γη αποτελεί το κέντρο του σύμπαντος και ότι κάθε πλανήτης παράγει τις δικές του νότες, ανάλογα με την απόστασή του από τη Γη. Παράλληλα, διαπίστωναν ότι η μελωδία του σύμπαντος είναι τόσο ξεχωριστή, ώστε τα απλοϊκά αφτιά μας δεν μπορούν να την ακούσουν. Ωστόσο, πρόκειται για μια μουσική με τόση ισχύ, ώστε να καθορίζει όλους τους κύκλους της ζωής, από τις τέσσερις εποχές μέχρι τα καιρικά φαινόμενα.

Το μονόχορδο του Πυθαγόρα

Όμως, πώς ακριβώς πειραματίστηκαν οι Πυθαγόρειοι στο μονόχορδο για την ανάδειξη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής; Αν μειώσουμε το μήκος μιας χορδής ακριβώς στο μισό, τότε ο ήχος που παράγεται είναι ακριβώς μία οκτάβα υψηλότερος (μία οκτάβα είναι ένα ντο, ρε, μι, φα, σολ, λα, σι, ντο) - μας δίνει, δηλαδή, ένα ντο πιο πάνω. Αν μειώσουμε το μήκος της χορδής κατά 1/3, τότε τα 2/3 της χορδής που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της πέμπτης (δηλαδή από το ντο στο λα). Κι αν μειώσουμε το μήκος κατά 1/4, τότε τα 3/4 που απομένουν μας δίνουν τη διαφορά της τετάρτης (από το ντο στο σολ). Ήταν ξεκάθαρο, λοιπόν, σ’ αυτό το επίπεδο της παρατήρησης ότι τα μαθηματικά "κυβερνούν" τη μουσική. Το γεγονός ότι από τους ήχους αυτών των διαφορών δημιουργείται ένα ευχάριστο συναίσθημα στον ακροατή, οδήγησε τους Πυθαγορείους στο συμπέρασμα ότι οι ακέραιοι και τα κλάσματα ελέγχουν όχι μόνο τον άψυχο αλλά και τον έμψυχο κόσμο μέσω της μουσικής.




Ο Αριστόξενος, νεότερος του Πυθαγόρα υπήρξε φιλόσοφος και σημαντικότατος θεωρητικός της μουσικής και του δόθηκε μάλιστα η ονομασία ο μουσικός. Η μέθοδος του ήταν κυρίως εμπειρική. Το σύστημα διδασκαλίας του βασίζεται σε αντίθεση με τον Πυθαγόρα, στην ικανότητα του αυτιού να αντιλαμβάνεται την αρμονική σχέση των μουσικών τόνων. Δεν ερευνά τις αριθμητικές σχέσεις μέσα στην οκτάβα, όμως καθορίζει τον ολόκληρο και τον μισό τόνο και κατασκευάζει μια κλίμακα με βάση το 1/12 του τόνου.

Ο Ευκλείδης από την άλλη, έχει μια γεωμετρική πρόταση για τα μουσικά διαστήματα.

Θεωρεί ότι αντιστοιχούν σε ευθείες γραμμές, με μία όμως διάφορα, ενώ οι ευθείες γραμμές που παράγονται ως αριθμοί ορίζονται με δύο γράμματα ένα στην αρχή και ένα στο τέλος τους, τα μουσικά διαστήματα δηλώνονται με ένα γράμμα.




Η Γεωμετρική πρόταση του Ευκλείδη για τα μουσικά διαστήματα

Στη σημερινή πραγματικότητα, τόσο η μουσική θεωρία, όσο και η μουσική πράξη, ερμηνεύονται με φυσικούς νόμους, που με τη σειρά τους διατυπώνονται με μαθηματικές σχέσεις. Στην ακουστική (στον ιδιαίτερο κλάδο της φυσικής που έχει ως αντικείμενο τον ήχο και τις ιδιότητές του) ένα μουσικό διάστημα εκφράζεται σαν ο λόγος δύο συχνοτήτων. Σε ορισμένες περιπτώσεις ο λόγος είναι απλής μορφής όπως για παράδειγμα οι γνωστοί μας λόγοι της καθαρής πέμπτης (3/2), της καθαρής τετάρτης (4/3), της οκτάβας (2/1) κ.λ.π. Σε άλλες περιπτώσεις, ελλείψει μεγίστου κοινού διαιρέτη, οι όροι του λόγου είναι μεγάλοι αριθμοί όπως στο διάσχισμα (2048/2025). Προκύπτει λοιπόν το συμπέρασμα ότι είναι δύσκολη, αν όχι αδύνατη, η σύγκριση δύο μουσικών διαστημάτων.

Η απλούστευση στην παράσταση των μουσικών διαστημάτων επήλθε με τη βοήθεια της λογαριθμικής σχέσης :

μέγεθος μουσικού διαστήματος = k * log(f2/f1)/log2

στην παραπάνω σχέση, όπου f1, f2 οι συχνότητες των φθόγγων του μουσικού διαστήματος και f2>f1. Το k είναι μια σταθερά η τιμή της οποίας καθορίζει και ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων.

Συγκερασμοί για τα μουσικά διαστήματα

Ανάλογα με τις τιμές της σταθεράς k (οι οποίες αφορούν διαίρεση της οκτάβας σε τόσα τμήματα όσο η αντίστοιχη τιμή), έχουμε κι ένα σύστημα μονάδων μουσικών διαστημάτων. Οι πιο γνωστές και χαρακτηριστικές τιμές της σταθεράς k, αναφέρονται στη συνέχεια.





Ρυθμός - Αριθμός

Ο ρυθμός και η Αρμονία είναι οι δύο βασικές συνιστώσες κάθε μουσικής έκφρασης. Ο ρυθμός είναι η πρώτη μουσική κατάκτηση για τον άνθρωπο, όπως ακριβώς ο αριθμός είναι η πρώτη, η θεμελιώδης Μαθηματική κατασκευή. Ο ρυθμός και ο αριθμός έχουν κοινή καταγωγή, την οποία έλκουν από την κατάτμηση του χρόνου και την 1-1 αντιστοιχία των χρονικών στιγμών με γεγονότα.

Η σύγχρονη αντίληψη για την αρμονία προκύπτει μέσα από τη χρήση ενός ισχυρότατου Μαθηματικού "εργαλείου", της ανάλυσης Fourier.

Ο Ανθρωπολόγος G. Murdock(1986) αναφέρει πως υπάρχουν 72 στοιχεία που είναι κοινά σε όλους τους πολιτισμούς, μεταξύ δε αυτών είναι τα σύμβολα της αρίθμησης και η μουσική.

Το αρχαιότερο εύρημα που έχει σχέση με τις μουσικές συνήθειες των ανθρώπων έχει ηλικία 35.000 χρόνων και είναι οστά από μαμούθ τα οποία, κατά τους αρχαιολόγους, χρησιμοποιήθηκαν για την παραγωγή ήχων προφανώς ρυθμικών. Ο ρυθμός, λοιπόν, είναι το πρώτο είδος μουσικής που χρησιμοποίησε ο άνθρωπος.

Στο χώρο των Μαθηματικών τώρα, η πρώτη Μαθηματική έννοια που είχε αρχίσει από νωρίς να κατασκευάζεται στο νου του ανθρώπου ήταν αυτή του αριθμού.

Σήμερα οι δύο αυτές έννοιες συνυπάρχουν στον τρόπο με τον οποίο γράφεται η Δυτική μουσική. Ας δούμε ένα παράδειγμα:



Στο σχήμα φαίνεται ένα μέρος ενός μουσικού κομματιού. Η χρονική αξία του πρώτου και δεύτερου συμβόλου είναι 1/4 και 1/2 αντίστοιχα, ενώ κάθε ένα από τα σύμβολα (νότες) που είναι ενωμένα έχουν εξ ορισμού αξία 1/8. Το κλάσμα 4/4 στην αρχή καθορίζει πως κάθε μέτρο, κάθε διάστημα δηλαδή το οποίο περιέχει μία μουσική φράση, πρέπει να περιέχει σύμβολα (νότες) συνολικής αξίας 4/4. Πράγματι 1/4+1/2+1/8+1/8=4/4. Τώρα πλέον ο αριθμός καθορίζει το ρυθμό και επιτρέπει να εκτελείται ένα μουσικό κομμάτι συγχρονισμένα από τους μουσικούς.

Η πορεία προς τις σύγχρονες αντιλήψεις.

Τα όσα περιγράψαμε μέχρι τώρα θα μπορούσαν να αναπαρασταθούν στο παρακάτω σχήμα:



Ο δρόμος για νέες τεχνολογικές εφαρμογές ανοίγει και επηρεάζει τον τρόπο κατασκευής μουσικών οργάνων και αυτό έχει σαν αποτέλεσμα τη στροφή των επιστημόνων προς τη μελέτη παλμικών κινήσεων. Η στροφή αυτή είναι καταλυτική για την έρευνα των Μουσικών φαινομένων η οποία προσανατολίζεται πλέον προς τη μελέτη του τρόπου παραγωγής των ήχων ενώ, όπως είδαμε, οι Πυθαγόρειοι ασχολήθηκαν με τις αριθμητικές σχέσεις των ήχων.

Βρισκόμαστε στα μέσα περίπου του 17ου αιώνα. Η μελέτη των παλμικών κινήσεων οδηγεί στην συγκρότηση της μαθηματικής έννοιας των περιοδικών φαινομένων και η Τριγωνομετρία στρέφεται πλέον από την παραδοσιακά υπολογιστική της στάση σε μια περισσότερο αναλυτική θεώρηση.

Στο σημείο αυτό θα κάνουμε δύο σημαντικές επισημάνσεις:

1. Ο Πυθαγόρας μελέτησε τον ήχο που παράγεται από μια χορδή χωρίς να συνυπολογίσει τις παραμέτρους της τάσης και της μάζας της χορδής αφού τα Μαθηματικά εργαλεία της εποχής του δεν επέτρεπαν κάτι τέτοιο.

2. Διάσημοι Μαθηματικοί όπως ο Euler, o D'Alembert και ο Langrange επιχείρησαν να λύσουν της εξίσωση της παλλόμενης χορδής. Ο Daniel Bernoulli βρήκε μια λύση μέσω μιας σειράς τριγωνομετρικών συναρτήσεων, αυτός όμως που ανέδειξε τη γενική λύση του προβλήματος της παλλόμενης χορδής ήταν ο Fourier το έτος 1822 με το έργο του "Theorie analytique de la chaleur".

Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται η καμπύλη που παράγεται από τη νότα Ρε ενός φλάουτου καθώς και οι αρμονικές της συνιστώσες χρησιμοποιώντας Τριγωνομετρικές σχέσεις.



Η νότα Ρε όπως παράγεται από ένα φλάουτο.

Παρατηρούμε ότι οι αρμονικές είναι μόνο 3 γι' αυτό ο ήχος του φλάουτου είναι τόσο απλός.

Σύγχρονοι Συνθέτες

Η πρώτη μαθηματική αναφορά στη μουσική ανιχνεύεται ήδη το 1925 στη Λυρική σουίτα του A. Berg, όπου ο συνθέτης στηρίζει τη δομή του έργου του στον μαγικό αριθμό 23 που προσδιορίζει το μέγεθος των κινήσεων, τις ενδείξεις του μετρονόμου ακόμα και σε μερικά σημεία τον αριθμό των φθόγγων των συγχορδιών.


Μετά το τέλος του Β' Παγκοσμίου πολέμου, και κατά την αρχή του δεύτερου μισού του 20ου αιώνα, συνθέτες όπως ο Karlheinz Stockhausen, ο Ιάνης Ξενάκης, o Les Paul, o Edgar Varese και άλλοι άρχισαν να χρησιμοποιούν στις συνθέσεις τους ηλεκτρονική μουσική. Έτσι αναπτύσσονται νέες μέθοδοι για την ηλεκτρονική παραγωγή και επεξεργασία του ήχου.

Η ιδιαίτερη σημασία στο έργο του Ι. Ξενάκη έγκειται όχι απλώς στο ότι αποτέλεσε με ένα δικό του προσωπικό τρόπο μέρος της παγκόσμιας μουσικής πρωτοπορίας ήδη από το 1954, με τη σύνθεση του έργου «Μεταστάσεις», αλλά κυρίως στο ότι με ένα σύνολο καινούργιων αντιλήψεων τόσο ως προς την οργάνωση του ηχητικού φαινομένου, αλλά και με την επαναστατική ανακάλυψη των σχέσεων μαθηματικών και μουσικής, άνοιξε τρομερούς νέους ορίζοντες στη δεδομένη μέχρι τότε, σκηνή της μουσικής σύνθεσης.

Η μουσική είναι ένα ποιοτικό φαινόμενο όπως η αίσθηση του ωραίου, της ανάμνησης και της λήθης, του ευχάριστου και του δυσάρεστου. Η ιστορία του Δυτικού κόσμου συνδέεται άμεσα, τους τρεις τελευταίους αιώνες, με την προσπάθεια υπαγωγής όλων των ποιοτικών φαινομένων σε ποσότητες εφόσον έτσι γίνονται τα φαινόμενα αυτά ελέγξιμα, ερμηνεύσημα αντικειμενικά. Κάθε εσωτερική αίσθηση μπορεί πλέον να γίνει εικόνα, να βγει στο χώρο. Η αίσθηση του κόκκινου χρώματος οφείλεται σε κάποιο μήκος κύματος της ορατής ακτινοβολίας και οι νότες γίνονται καμπύλες κινούμενες σε έναν παλμογράφο. Ένας συνεχής μετασχηματισμός συντελείται ο οποίος μεταμορφώνει το υποκειμενικό σε αντικειμενικό και ο καταλύτης σε αυτόν το μετασχηματισμό φαίνεται πως είναι τα Μαθηματικά.

Πηγή: Εργασία των μαθητών της Γ' Γυμνασίου του Μουσικού σχολείου Κομοτηνής, 2005-2006

Αναρτήθηκε από:

Τρέλα είναι απλά μια άλλη μορφή της συνείδησης 

Matematiksel Edebiyat: Sihirli Kombinasyon mu, Ütopya mı? Matematiksel literatür ifadesini duymak kesinlikle kafa karıştırıcıdır. Matematik ve edebiyatı ilişkilendirmek çelişkili bir girişim gibi görünüyor. Ama biraz daha iyi düşünürse, belki de yeni bir çerçeveye gömülü karmaşık denklemleri hayal etmeye başlar. Ancak bu matematik literatürü de değildir. Fakat pratikte matematik ve edebiyat nasıl ilişki kurmayı başarır? İki kavramın tanımları bize onları ayıran büyük farklılıkların ilk resmini verir. Matematik: Tümdengelimli hesaplamalar yoluyla soyut kavramların özelliklerini ve aralarında var olan ilişkileri incelediğimiz kurallar dizisi. Descartes'a göre, "amaçları düzen ve büyüklük arayışı olan tüm bilimler matematiğe aittir." Sayıların nesneleri saymak için ne zaman kullanıldığı ve bu kullanımın, onun icat ettiği diğer öğelerin kullanımından önce gelip gelmediği bilinmemektedir. numaralandırma için. Edebiyat: Söz sanatı, bir çağın kaygıları ve sorunlarıyla baş edebilme yeteneği, bu yüzden her çağın aynasıdır. Edebiyat güzel sanatlara aittir ve içeriğini hayattan alır, ancak onun bir kopyası veya tasviri değildir. Yazar, konularını zengin gerçeklik ve deneyim dünyasından alır ve kendi anlatım yollarını seçerek, içeriğin biçimi ve içeriğin biçimi belirlediği ayrılmaz bir içerik ve biçim birliği yaratır. Verilerin öznel yargısının, edebiyatı karakterize eden çifte anlamların ve belirsizliğin matematiğin katılığı, açıklığı ve nesnelliği ile nasıl uzlaştırılabileceğini anlamak şöyle dursun, hayal bile edilemez. İlk olarak, antik çağlardan günümüze matematik ve edebiyatın buluştuğu tarihsel anlara değineceğiz, ancak esas olarak modern matematik literatürüne bir yolculuk yapmaya çalışacağız. Akıl ve kalite anlayışını değerlendiren, büyüten ve ona ayak uyduran yeni bir edebi üretim türü. Antik çağlardan günümüze edebi metinler matematikten söz ederken özel bir saygı gösterirler. MÖ 500 kadar erken , eski trajedilerde sayılara atıfta bulunulur (örneğin, Aeschylus'un Prometheus Bound). Ancak edebiyatın matematiğe gösterdiği saygı kadar, matematikçiler için de o kadar çok alay ve ironi gösterir. "Kendi dünyasında" yaşayan marjinal tip "soyut matematikçi" klişeleri, klasik yıllardan (MÖ 415, Ornithes Aristophanes) zaten var olan bir unsurdur. Aristophanes, komik bir şair olarak, aralarında matematikçilerin de bulunduğu çeşitli Atinalı karakterleri hicveder. Ancak hiciv şairi Aristophanes'in işi de herkesle dalga geçmektir. Ancak Platon bile, onlara saygı duyduğu bilinen matematikçiler hakkında fıkralardan bahseder. Böylece, Theaitis diyaloğunda şunları okuruz: SOKRATES: Tıpkı Thales gibi, yıldızlara bakarken bir kuyuya düşen Theodore. Sonra, Trakya'dan güzel ve ruhlu bir kız, göktekileri öğrenmek için büyük şevkinden dolayı önündeki ve ayaklarının arasını görmediğini gözlemleyerek onunla alay ettiğini söylüyorlar. Aynı alay, felsefe yaparak yaşayan herkes için geçerlidir. Nitekim böyle bir insan, komşusunu ve komşusunu, sadece ne yaptığını değil, neredeyse insan mı yoksa başka bir canlı mı olduğunu hiç umursamaz. O, yalnızca insanın ne olduğu ve onu diğer varlıklarınkinden farklı kılan insan doğasında ne olduğu ile ilgilenir. Dünyadaki tüm öğrenciler gibi biz de Thalis ile birkaç kez karşılaştık. Ama profesör her seferinde teoremden bahsetti, asla kişiden, kişiden bahsetmedi. Ne de olsa matematik dersinde insanlarla hiç tartışmadık. Şurada burada bir isim su yüzüne çıktı: Thales, Pisagor, Descartes. Ama bu sadece bir isimdi. Bir peynirin adı ya da bir metro istasyonu gibi. Ne zaman ve ne olduğu hakkında hiç konuşmadık. Matematik formülleri ve ispatlar az önce tahtaya indi. Sanki onları hiç kimse yaratmamış, sanki hep orada olmuşlar, dağlar ve nehirler gibi. Burada da dağların biraz tarihi, biraz başlangıcı vardı. Büyük bir matematikçi olan G.H.Hardy'nin de özür dilediği gibi, teoremlerin dağlardan ve nehirlerden daha zamansız olduğu söylenebilir: "Arşimet, Aeschylus unutulduğunda herkes tarafından hatırlanacak. Çünkü matematiksel doğrular ebedi iken diller ölür. "Ölümsüzlük" kelimesi aptalca bir kelime olabilir, ama eğer bir anlamı varsa, matematikçi bunu herkesten daha fazla iddia ediyor." Ancak matematik ne Tarih, ne Coğrafya, ne de Jeolojidir. Gerçekten nedir? soru değibirçok insanı ilgilendiriyor gibi görünüyor. Thales zamanında, MÖ 6. yüzyılda felsefe ve matematik ayrılmazdı. Sonuçta, kelimelerin kendisi henüz mevcut değildi. Çok daha sonra yaratıldılar ve hatta daha sonra kavramlar ayrıldı. Ama bugün bütün dünya birlikte doğduklarını unutuyor. Ayrıca MS 5. yüzyıla ait edebi bir metne atıfta bulunmaya değer. O zamanın tüm bilimlerine atıfta bulunan yüzyıl. "Hermes ve Filolojinin Evliliği". Tanrı Hermes, Filoloji ile evlenir. Yedi liberal sanat, kendilerini dilemek ve tanıtmak için geçit töreni yapar. Bunların arasında sunumu, çalışmanın 379 sayfasının 58'ini kaplayan Aritmetik ve 60 sayfayı kaplayan Geometri'dir. Daha sonra, bir romanda matematiğin varlığı, "matematiksel olduğu için doğru olduğu garanti edilir, ancak zaten kimse onu anlamıyor" fikriyle yetinir. Başka bir deyişle, doğal yasadışılığın yasallaştırılmasını sağlayan bazı kafa karıştırıcı matematiksel terimler veya formüller kullanılır. Tamamen matematiğe ayrılmış bir edebi esere sahip olmak için 19. yüzyıla kadar beklememiz gerekecek. Abbot'un "düz ülke"si, en düşük sosyal varlıkları düz kesimler olan kadınlar olan iki boyutlu bir dünyayı tanımlar, ancak çok tehlikelidir çünkü uzuvlarıyla Düz Diyar'ın diğer herhangi bir sakinini kolayca öldürebilirler. Sosyal olarak aşağı erkekler üçgendir. Kişi ne kadar yükseğe tırmanırsa, o kadar çok taraf kazanır. Toplumun kreması, dini rahiplik, çevrelerdir. Düz ülkenin sakinlerinden biri olan A. Square, düz ülkede, tek boyutlu bir uzayda olduğunu ve orada yaşayanlara iki boyutu korkunç zorluklarla tarif etmeye çalıştığını hayal eder. Ertesi gün, Horochora'dan gelen ve onu üç boyutlu dünyaya yönlendiren bir küre tarafından Flatland'de ziyaret edilir. Bu kitap, v-boyutlu uzaya en iyi giriştir ve üçten fazla boyutlu uzaylara genişlemeyi görselleştirmeye yardımcı olur. 20. yüzyılın sonunda Matematik Edebiyatının sınıflandırılmasıyla birlikte bugün gerçek bir patlama yaşıyoruz. Bu fenomen, kuşkusuz, halkın matematiğe olmasa da en azından matematiğe olan ilgisinin arttığını göstermektedir. Elbette bu ilgi, matematiğin ilkel huşuna dönüş anlamına gelmeyebilir, ancak kuşkusuz bir meydan okumayı temsil eder. Böylece birinci kategori, ana teması matematik olan romanları içerir, yani kurgu, matematiksel kavramları geliştirmek, hatta öğretmek amacıyla kullanılır. Ian Stewart'ın klasikleşmiş 'Flatland' romanının devamı niteliğindeki 'Flatterland' romanı bu kategoriye giriyor. Macera, kadın kahraman Victoria Line'ın (çizgi), evinin çatı katında, büyük-büyük-büyükbabası Albert Square'in (meydan) kavrulmuş günlüğünü keşfetmesiyle başlar. Vicky, atalarının geniş Üçüncü Boyut evrenine ayak izlerini takip ederek, ebeveynlerinin cehaletinden dolayı Üçüncü Boyut virüsüne yakalanır. Aksiyon ve çevreden "kaçma eğilimi" ile dolu heyecan verici bir hikaye, okuyucuya zaman ve mekan sınırlarını aşan gerçek dışı bir yolculuk sunuyor. Yazar Christos H. Papadimitriou'nun bir başka harika kitabı olan "Turing'in Gülüşü" de aynı kategoriye giriyor. Okuyucuyu matematiğin, felsefenin, bilişimin ve yaşamın gücüyle tanıştıran, yaz macerasının "serin" bir nefesiyle çevrili bir roman. Hayatlarımızı tüm gizemli yönleriyle dönüştüren karşı konulmaz bir güç: aşk, politika, hatta ölüm, incelikli, karmaşık, radikal ve nihayetinde kurtarıcı şekillerde. Denis Guedj'in matematik romanı "Parrot Teoremi"nde bir gizem ve mantık ağı ortaya çıkıyor. Huzursuz, maceralı ve heyecan verici bir hikaye, Paris, seyahatnameler, bir arkadaşın ölümünü çözmeye çalışan bir grup ve konuşkan bir papağan, genellikle onu çevreleyen denklemlere izin veren karmaşıklıklardan çok daha "insan" olan büyülü bir Matematik dünyasını ortaya çıkarır. Daha modern bir roman, Matematik ve günlük hayatımızın birbirine bağlı olduğunu ve bir alanın diğerini bilgilendirdiğini iddia eden John Allen Paulos'un "Bir varmış bir yokmuş" adlı romanıdır. Başka bir deyişle, Paulos dünyada olup biten her şeyin matematiksel olarak tanımlanabileceğini yazar. Bernard Russell ve Grouho Marx arasındaki kurgusal diyalogları kullanarak, Unabomber'ın terör eylemlerinde kullandığı taktiklerin matematiksel zekanın ürünü olduğunu gösteriyor. Pierre de Fermat, 17. yüzyılda okudu. Diophantus "Aritmetik" kitabı ve Pisagor Teoremi üzerinde durdu, not l sayfanın kenarına şu ifadeyi koymak: "Gerçekten harika bir kanıt keşfettim, ancak sayfanın kenar boşluğu onu geliştirmek için çok dar." Önümüzdeki 350 yıl boyunca, Fermat'ın bu ifadesi, o zamandan beri bu matematiksel problemi çözmek için kendilerini korkunç bir mücadeleye atan en ünlü matematik zihinlerinin takıntılı bir fikri haline geldi. Bütün bunlar Simon Singh'in Fermat'ın Son Teoremi adlı kitabında incelenmekte ve analiz edilmektedir. Aşağıdakiler de aynı kategoride sınıflandırılır: "Leydi mi yoksa kaplan mı?", "Şeytan, Cantor ve sonsuzluk" (R. Smullyan), " Kitap cehennemi" (Carlo Frabetti), " Kırık zar" ( Ivar Ekeland) ) et al. İkinci kategori, matematikçilere atıfta bulunan romanları içerir. Karakterlerin bir kısmı Matematikçidir ve olay örgüsü bu nitelik tarafından belirlenir. Apostolos Doxiadis'in en ünlü ve en çok okunan eseri olan "Peter Amca ve Goldbach'ın Sanısı" bu kategoriye girer. Bu kitap kendini matematiğe adayan bir adamın hayatını anlatıyor. Anlatıcı-yeğen, bir zamanlar ünlü bir matematikçi olduğunu, ünlü "Goldbach'ın Sanısı" üzerinde çalışacak kadar zeki ve cesur olduğunu keşfeder. Matematiksel olarak acemileri bile matematiğin güzel dünyasına ve "Riemann Teoremi" ve Gendel'in "Tamamlanmamışlık Teoremi" gibi en dikkat çekici matematik teoremlerinden bazılarına yönlendiren büyüleyici bir matematiksel gizem. Büyüleyici, değeri yüksek ve pazarlıkları bol bir eser........ Philibert Schogt, bir üniversite romanı biçimini kullanarak "Çılgın Sayılar" adlı kitabıyla bizi saf matematikle uğraşanların düşünce ve çalışmalarını tanıtıyor. Üniversitelere hakim olan gaddarlık ve rekabet ruhu, araştırmacıların bilgi ve öz farkındalığın zorlu yolunda izledikleri özel yol ve izolasyon, yazarın yoğun eleştirisinin parlamasına izin veren mizah ve hafif yazı ile "konum için" işlenir. Modern yuppie toplumundaki matematikçinin, yararlı ve verimli bir şeyle uğraşmayanları hor görüp marjinalize etmekle kalmayan, aynı zamanda onları düzeltmeyi de görev sayan bir toplum.", çeviriden sorumlu kişinin yazdığı gibi. Kitabın önsözü, Tevkros Michaelidis. Kurmaca biyografilerin ait olduğu üçüncü kategoride Tom Petsinis'in "Fransız Matematikçisi" adlı eseri ilgi ve dramıyla öne çıkıyor. Evariste Gallois'in çalkantılı ve kısa hayatını, güçlü ve büyüleyici bir kurgu dili kullanarak anlatan bir kitap, Gallois'in kendisinin anlatıcı olması gerçeğiyle hemen çekici ve dikkat çekici hale geldi. Matematiksel dehalar ruhani insanlardır, sıra dışıdırlar ve en önemlisi çok nadirdirler. Fransız matematikçide, büyük kurgusal yeteneğe sahip bir yazar, matematiksel zihnin karmaşık düşünme biçimini şok edici bir dönemin olaylarıyla birleştirmeyi başarır. (Fransa'nın Napolyon dönemi-iç çatışmaları). Aynı türden başka bir kurgusal biyografi, G.H.Hardy'nin "A Mathematician's Apology" adlı eseridir. Son olarak, dördüncü kategoride popülerleştirilmiş matematiği sunan eserler yer almaktadır. Yani, matematiksel olarak bilgisiz bir kişi tarafından bile sunulan kavramları anlamak amacıyla matematiğe biraz basitleştirilmiş bir biçimde atıfta bulunan eserler. Serge Lang, The Fascination of Mathematics adlı kitabında, Paris'teki Palais de la Decouverte'ye yaptığı ziyaretler sırasında halkla yaptığı üç sohbete yer veriyor. Kitabın sayfalarında Lang, özel matematik bilgisi olmayan bir kitleye asal sayılar, yarı saydam denklemler gibi önemli matematiksel konuları ve n-boyutlu geometriyi aktarmada takdire şayan bir beceriyle başarılı oluyor. "Matematiksel Gezgin" ve "Asal Sayıların Müziği" adlı eserler de bu türde sınıflandırılır. Matematik ve edebiyat arasındaki ortak yol, Mykonos'ta düzenlenen "Mathematics and Narrative" konferansıyla başladı ve aralarında Apostolos Doxiadis, Tevkros Michaelidis, Barry Mazur, John Barrow'un da bulunduğu birçok matematikçi-yazar tarafından oyulmaya devam ediyor. Marcus du Sautoy, Timothy Gowers ve diğerleri. Matematik ve edebiyatın buluştuğu tarihi anlarda ve modern matematik literatürünün referanslarında gezinmeye çalıştık. Kabul etmeliyiz ki, bu kadar farklı, görsel olarak aynı zamanda çok uyumlu iki türün, Edebiyat ve matematiği birleştiren ve aynı zamanda benzersizliğini koruyan bu nesneyle ilk temasta, şaşırdık ve heyecanlandık. cesur bir adım. Ancak bu konuyla ilgili çalışmalarımız sırasında ortaya çıktığı gibi, bu iki türün dolaylı ama aynı zamanda doğrudan bir ilişkisi olduğunu anladık. Bu gerçek, ortaya çıktığı eski yıllar ve izlediği yolun zamansızlığı ile belgelenmiştir. Öznellik ve nesnellik, muğlaklık ve netlik, özgürlük ve sınırlamanın birleşimi, sonunda, sonuçlara götüren düşünceleri tutarken ve onaylarken aynı zamanda çeken ve çıkaran mükemmel uyumlu bir şekilde gerçekleştirilir. Girişimizde Edebiyat ve Matematiği tanımlayan kavramlardan bahsettik. Bu iki türün birliğini karakterize eden bir tanım için çeşitli kaynaklarda zaman zaman aradığımız kadarıyla kesin bir formül bulmak imkansız hale geldi. Belki de, sonuçta, Matematik Edebiyatı terimi, edebi tür aracılığıyla matematiğe atıfta bulunan, anlatılan veya atıfta bulunan eserlerin yaratılması anlamına gelir. İki kavramın işbirliğini ve rekabetini öne çıkaran eserler. Resim ve mimaride matematik Matematik ve resim iki farklı kavram olmasına rağmen, bir araya getirilebilir ve etkileyici ve takdire şayan eserler verebilirler. Tarihsel olarak matematik öncelikle mantık olarak görülse de duyguya hitap eden sanatın gelişmesinde önemli rol oynamıştır. Matematik ve resim ilk olarak kübizm tekniğinde buluşur. Terim ilk olarak, küp benzeri evlerin Braque resmine alaycı bir yorum olarak kullanıldı. Başlıca temsilcileri, Picasso (1881 - 1973) ve Braque (1882 - 1963), modellerini katı geometrik Afrika sanatından değil, aynı zamanda çalışmalarında form yapısının kullanımını inceledikleri ve inceledikleri Cezanne'ın seyrinden de türemiştir. nesnelerin basitleştirilmesine ve geometrik olarak parçalanmasına dayanan şeylerin yeni bir mantıksal sunumunda. Bu iki sanatçı uzun süre birlikte çalıştıkları için bazı eserlerini hangisinin çizdiğini söyleyemeyiz. Kübizm esasen Picasso'nun 1906 ve 1907 yılları arasında yaptığı "Misses of Avignon" adlı eseriyle doğdu. Bu resimde 1906'nın sembolizmi, Kübist arayışların başlangıcına işaret eden yeni plastisite ile bir arada var oluyor. Ressam, 1907'nin sonuna kadar, esere hangi değişikliklerle daha fazla homojenlik kazandırabileceğini bulmaya çalıştı, ancak çabasının sonuçlarının tatmin edici olmadığına ve resmin orijinal şeklini koruduğuna karar verdi. Kübizm konuları ağırlıklı olarak natürmort, müzik aletleri, şişeler, bardaklar, Parisli sehpalardır, çünkü bunlar ne illüstrasyonla ne de anlatıyla değil, şeylerin entelektüel performansı, form, renk ve ışığın analizi ile ilgilendiler. Eserleri ayrıca geometrik desenlere dayalı ritmik kompozisyonları ve hakim olan koyu gri ve hardal rengi ile karakterize edilir. Kübizm soyut ve geometrik bir sanat gibi görünse de gerçek nesneleri tasvir eder. Kübist ressamlar, gerçeklik ile onun yanıltıcı temsili arasında yeni ilişkiler aradılar ve bu nedenle gözü "aldatmayı" ve şeyleri "gerçek" olarak sunmayı reddettiler. Boyalı yüzey iki boyutlu olduğundan, herhangi bir derinlik yanılsaması yanlıştır. Ancak bir cismin sadece bir açıdan sunulması da yanlış veya eksiktir. Cismin aynı anda önü, arkası, içi ve dışı vardır. Esasen görsel gerçekliğe yönelik bu saldırı, nesnelerin ve doğal dünyanın yalnızca dış görünüşleriyle tükenmediğinin, çünkü nesnelerin özünü açığa çıkarmaktan çok gizlediğinin bulunmasının sonucudur. Böylece kübizmde hareket ve zaman içerilirken, nesne gerçekte göründüğü gibi değil, gözlemcinin zihninde var olduğu gibi tasvir edilirken ya da daha doğrusu onu aldığı temsillerle özdeşleştirmek için gerektiği kadar çok öğe verilir. gözlemcinin bu konuda sahip olduğu bilgi. Birkaç yıl sonra, kübizm tekniğinden bağımsız olarak, resimlerinde güçlü geometrik ve topolojik unsurlara sahip tasarımları kullanan ünlü İspanyol sürrealist ressam Salvator Dali (1904 -1982) faaliyete geçti. Dali birçok eserinde dört boyutlu uzayı iki boyutlu uzayda tasvir etmiştir. Örneğin, "Dördüncü Boyutu Arayışında" adlı eserde topoloji ve dört boyutlu geometri unsurları vardır, böylece resim bir hiper küre etrafında hareket ediyormuş gibi görünür. Dalí her türlü mecrada çalışmış, ardında yağlı boya tablolar, çizimler, suluboyalar, grafikler, mücevherler ve her türlü nesneden oluşan zengin bir malzeme bırakmıştır. Çalışmaları hakkında şunları söyledi: "Çalışmalarım, elde ettiklerimin, yazdıklarımın ve düşündüklerimin bir yansımasından başka bir şey değildir. Tüm resmim evet, genel kozmogonimin bir parçası." Ancak "matematiksel sanat" terimine atıfta bulunduğumuzda aklımız, matematiksel fikirlere dayalı benzersiz ve büyüleyici sanat eserleri yaratan Hollandalı sanatçı Maurits Cornelius Escher'e (1898 - 1972) gidiyor. Böylece, Escher haklı olarak matematiksel sanatın babası olarak adlandırıldı. Uçağı dalgalı sıralı kuşlar, balıklar, sürüngenler, memeliler ve insanlarla bölerek simetri yasalarına, küme teorisine, perspektife, topolojiye ve kristalografiye dayalı çok çeşitli şaşırtıcı görüntüler yaratmayı başardı. Eserleri litografi, gravür, gravür ve bakır levhadır. Ancak Escher, kristalograflar tarafından düzlemi böldüğü başarılı mozaik sanatıyla tanınır. Yine görevi sırasında yansımalar, kristal şekiller ve küreler ile birçok eser yarattı. Resimlerinin çoğu siyah beyazdır, ancak bu onların sanatsal ve matematiksel değerlerini etkilemez. Escher'in özel sanatını anlama çabasında, en önemli resimlerine daha ayrıntılı olarak atıfta bulunmaya değer. "Görelilik"te, üç yerçekimi kuvveti uygulanır ve birbirine bağlanır. Dünyanın üç düzlemi her düzlemi dik açılarla deler. Farklı seviyelerdeki doğal ortamda yürümek, oturmak veya ayakta durmak imkansızdır çünkü neyin yatay neyin dikey olduğuna dair farklı bir algı vardır. Şaşırtıcı bir şekilde insanlar aynı alanı ve aynı merdivenleri paylaşırlar. "Gündüz ve Gece"de birçok simetriye sahip bir resimde, gri dikdörtgen arka plan, beyaz ve siyah kuşların silüetlerinde (veya ana hatlarında) yukarı doğru gelişir; siyah olanlar sola ve beyazlar sağa doğru zıt bir oluşum içinde uçar. Resmin solunda beyaz kuşlar birlikte geçtiler ve bol ışıklı bir gündüz göğünde yan tarafın tonunu değiştirdiler. Sağ tarafta ise kara kuşlar birlikte onu söndürür ve geceye çevirir. Gündüz ve gece manzarası, açık ve koyu gri yardımıyla her iki tarafın ayna görüntüleridir. Ayrıca resme yukarıdan aşağıya bakıldığında kuşların tarlalara dönüştüğüne dikkat edin. "Sürüngen" resmi, bir timsahın döngüsel yaşamını gösterir. Her türlü nesne arasında, mozaik sürüngen formunun boyalı görüntüsünün bulunduğu bir çizim defteri öne çıkıyor. İçlerinden biri bu yüzeysel yalandan sıkılır, iki boyutlu hapishaneden şakacı bir şekilde kaçar ve üç boyuta yani normal hayata girer. Sonra etrafındaki nesnelerin üzerine çıktıktan sonra yoruldu ve boyalı resme geri döndü. "Küresel yansımalı el" adlı bir başka özel tablosu da ressamın elini bir top tutarken ve üzerinde düşünürken gösterir. Bu aynada, onu çevreleyen şeyin düz bir aynadakinden daha eksiksiz bir görünümü oluşur. Odada dört duvar, bir zemin ve bir tavan vardır. Başı ve daha doğrusu gözlerinin arasındaki nokta kürenin tam ortasında. Küresel aynayı nasıl çevirirse çevirsin, kendisi merkezde kalır. Onun egosu, dünyasının istikrarlı çekirdeğidir. Escher'in çalışmaları 1950'lere kadar büyük ölçüde fark edilmedi, ancak 1956'da ilk büyük sergisini açmış, onun hakkında bir Times dergisinde yazılar yazmış ve dünya çapında ün kazanmıştı. En büyük hayranları arasında, çalışmalarında matematiksel ilkelerin şaşırtıcı bir örneğini tanıyan matematikçiler vardı. En önemli şey, Escher'in liseden sonra resmi bir matematik eğitimi almamış olmasıydı. Çalışmaları geliştikçe, genellikle planometri ve projektif geometrideki yapılardan doğrudan çalışarak, okuduğu matematiksel fikirlerden çok ilham aldı. Ayrıca paradoksal ve "imkansız" şekillere de hayrandı ve bu, birçok garip sanat eseri yaratmasına yardımcı oldu. Böylece, bir matematik öğrencisi için Escher iki alanı kapsar: uzayın geometrisi ve bizim "uzay mantığı" diyebileceğimiz şey. Escher'in simetrik olan ve olmayan her türlü mozaikten büyülendiğini ve özellikle şekillerin değişip birbiriyle etkileştiği, bazen de yüzeyden çıkarak özgürleştiği "dönüşümler"den keyif aldığını görmek kolay. Mozaiklerin çoğu, yüzeyleri bölen asimetrik çokgenlerdir. Escher, geometrilerin yansımalar, yuvarlanan yansımalar, ötelemeler ve döndürmeler olarak adlandırdığı şeyleri uygulayarak mozaiklerinde bu temel kalıplardan yararlandı. Bunu daha çeşitli tasarımlar elde etmek için yaptı. Ayrıca bu şekilleri daha karmaşık hale getirdi, onları "çarpıttı" ve metamo onları hayvanlara, kuşlara ve diğer formlara enjekte etmek. Mozaiğin korunabilmesi için bu çarpıklıkların temel şeklin üçlü, dörtlü veya altılı simetrisine (yani bu simetriler üçgenlerden, karelerden ve altıgenlerden gelir) uyması gerekiyordu. Sonuç hem etkileyici hem de güzel olabilir. Escher'in kendisi şunu savundu: "Eğer kendi küçük resimlerim bana dünyanın en güzel kamerasından daha fazla keyif veriyorsa, o zaman belki doğru yoldayımdır." Resmin yanı sıra matematiğin çeşitli yaşam biçimlerine ve sanata katkısı büyüktür. Örneğin, en ünlü sayılardan biriyle ilgilenmeye değer. "Altın oran" olarak bilinen Φ sayısı. Bir düz parçayı, toplam uzunluğunun büyük parçanın uzunluğuna oranı, büyük parçanın uzunluğunun küçük parçanın uzunluğuna oranına eşit olacak şekilde eşit olmayan iki parçaya bölmek istediğimizi varsayalım. , yani, şeklimizde AG'nin AB'ye oranının, AB'nin BG'ye oranına eşit olmasını istiyoruz. B'deki bölüm, yani "altın bölüm", bu sonucu elde eden bölümdür ve bu eşsiz altın bölümde ΑG/AB ve AB/BG oranı her zaman eşittir (ilgili düzlüğün uzunluğundan bağımsız olarak). segmentler) 1.62'ye, yani F. Φ sayısının yaydığı uyum, eski Yunanlılar tarafından çeşitli şekillerde bilinmiş ve kullanılmış, oranları Φ'ye dayanan Parthenon'un mimarisi anlayışıyla maksimuma ulaşmıştır. Φ aynı zamanda, örneğin insan vücudunun oranları, borsa fiyat endeksinin seyri ve diğer kaotik fenomenler gibi bir dizi fiziksel miktar, fenomen veya insan tezahürü ile az çok doğrudan ilişkilendirilmiştir, gezegenlerin güneş etrafındaki yörüngeleri, kredi kartlarının şekli, kristallerin geometrik yapısı, leonardo da vinci gibi büyük ressamların eserlerinin renk ve tasarım oranları, insan vücudunun biyoritimleri ve kalp atış hızı, fiziksel özellikler çeşitli hayvanlar, Chaology'nin Feigenbaum sabiti, çeşitli dinlerin teolojik metinleri ve çok daha fazlası. Matematik ve mimarlık arasındaki ilişki de karakteristiktir. Örneğin Cheops'un piramidi, Kutsal Dağ'ı ve insanlığın cennete ulaşmak için verdiği evrensel mücadeleyi simgeleyen devasa bir yapıdır. O, "dünyanın resmi"dir ve uzayın dört yönünü içerir. Mimari benzersizliği ve ihtişamının ötesinde, büyük piramit, ezoterik kaynaklar tarafından Evrenin gizemlerini kodlayan gizemli oranları ve sayıları içeren bir sembol olarak kabul edilir. Kızılderililerin bina inşaatları da büyük ilgi görüyor. Çoğu yapı doğu ABD'de bulundu. Ve çoğu konik. Genellikle dolgun dört kenarlı piramitlerdir. En büyüğü - yaklaşık 30 metre yüksekliğinde ve yaklaşık 210 metrelik bir tabana sahip - Illinois'de bulunuyor. Kızılderili Kızılderili Geometrisi, basit daire tarafından oluşturulan doğal, orantılı bir geometridir. Mimari ve ikonografik kanıtlar, bunun en az 2000 yıl boyunca aktarılan ve uygulanan ortak bir gelenek olduğunu kanıtlıyor. Çin ve Akdeniz havzasından Britanya Adalarına kadar dünyanın çeşitli yerlerinde keşfedilen ve geliştirilen geometrinin aynı türüdür. Çok daha sonra, Rönesans mimarisindeki en tipik "matematiksel" örnek, en büyük villalarındaki odaların üç boyutlu çizimi için harmonik oranlar kullanan Palladio'dur. Yedi ideal oda formu seçti: en boy oranları, köşegenler ve kare kombinasyonları ile dairesel, kare ve diğer beş form. Günümüzde mimarlık ve matematik el ele gitmektedir. Tipik bir örnek, Prag, Rotterdam ve diğerleri gibi büyük Avrupa şehirlerini süsleyen kübist evlerdir. Ayrıca, dünyadaki büyük modern mimari yapılar, düzenli çokgenler, trigonometri ve simetriler gibi temel matematiksel kavramlara dayanmaktadır. Güzel sanatları matematik yoluyla gözlemleyerek, yalnızca zor denklemlerle karmaşık bir dünyayı ayırt etmekle kalmayıp, bunun yerine bir fantezi dünyasını, bir matematik dünyasını ve gerçek hayatımızın bir dünyasını keşfetmeniz garip. Picasso ve Brucke, Dali ve Escher ve diğerleri matematik kullanarak sanat yarattılar. Matematiğin kendisi bir sanat mıdır? Matematik - Müzik Matematik ve müzik çok yakından ilişkili iki bilimdir. Antik çağlardan beri iki sanat birbiriyle etkileşim içinde olmuştur ve bu etkileşim günümüze kadar devam etmektedir. Matematik ve müziği birleştirme fikri 26 yıl önce doğdu Antik Yunanistan'da yüzyıllardır, matematikçi ve Pisagor düşünce okulunun kurucusu Pisagor tarafından. Filozof, müzik ve sayılar arasındaki ilişkinin çok iyi farkındaydı. Uzman araştırmacılar, kendisinin ve öğrencilerinin, eski monokord enstrümanını inceleyerek müzik ve sayılar arasındaki ilişkiyle tanıştırılmış olma ihtimalinin yüksek olduğuna inanıyorlar. Adından da anlaşılacağı gibi, monokord, kol ud ailesindeki birkaç bilim adamı tarafından yerleştirilen, tek bir telli ve teli bölen ve sadece bir parçasının titreşmesine izin veren hareketli bir köprüye sahip bir enstrümandı. Monokord, müzikal seslerin matematiksel ilişkilerini tanımlamak için kullanıldı. Buluşunu Pisagor'a atfettikleri için "Pisagor kanonu" olarak da adlandırıldılar. Archytas gibi birçok büyük matematikçi, kurala dayalı müzik aralıklarının hesaplanması üzerinde çalıştı (dörtlü, kromatik ve enharmonik olmak üzere üç cinste dörtlülerin aralıklarının oranları üzerinde çalıştı ve büyük üçüncünün oranını keşfetti. enharmonic cins), Eratosthenes the Twin (ona, majör ton (9/8) ve minör ton (10/9), yani 81/80 arasındaki fark olan "İkizler'in bir parçası" tanımı atfedilir. Monokorda sadece kesin matematiksel ilişkilerin harmonik sesler vermesi dikkat çekiciydi. Örneğin, ahenkli bir sesten gelen hoş bir zihinsel duyguya sahip olmak için teli ortadan değil tam ortasından ayırmaları gerekiyordu. Böylece Pisagorcular kolayca matematiğin müziği yönettiği ya da bir dereceye kadar müziğin matematiği yönettiği sonucuna vardılar. Pisagorcular için, matematik, müzik ve hoş zihinsel duygunun bu doğrudan ve kesin ilişkisi, gerçeğin en üst düzeyde matematiksel ilişkilerde ifade edildiğinin en büyük kanıtıydı. Aslında, ruhun matematik ve müzik yoluyla evrenle birleşinceye kadar yükseltilebileceğine ve bazı matematiksel sembollerin okült bir anlamı olduğuna inanıyorlardı. Pythagorasçıların ufuklarını sınırlayan ve onları çevremizdeki dünyanın her şeyin mükemmel uyumu üzerine kurulu olduğu sonucuna götüren rasyonel sayılara olan takıntısıydı. Bununla birlikte, Avrupa müziği, en azından Johann Sebastian Bach'ın "Well-Weathered Clef" adlı kompozisyonu aracılığıyla oktavın on iki yarım tona bölünmesini önerene kadar Pisagor armoni ilkelerine dayanıyordu. kürelerin müziği Pisagorcular, gezegenlerin (kürelerin) gökyüzünde seyahat ederken galaktik eter ile sürtünmelerinden dolayı müzik ürettiğine inanıyorlardı. Özellikle Dünya'nın evrenin merkezi olduğuna ve her gezegenin Dünya'dan uzaklığına bağlı olarak kendi notalarını ürettiğine inanıyorlardı. Aynı zamanda, evrenin melodisinin o kadar özel olduğunu ve basit kulaklarımızın onu duyamayacağını keşfettiler. Ancak o kadar güçlü bir müzik ki, dört mevsimden havaya kadar hayatın tüm döngülerini belirler. Pisagor'un monokordu Fakat Pisagorcular matematik ve müzik arasındaki ilişkiyi vurgulamak için monokordla tam olarak nasıl deney yaptılar? Bir telin uzunluğunu tam olarak ikiye bölersek, üretilen ses tam olarak bir oktav daha yüksektir (bir oktav bir C, D, E, F, G, A, B, C'dir) - yani bize bir oktav verir. C daha yukarıda. Akorun uzunluğunu 1/3 oranında azaltırsak, akorun kalan 2/3'ü bize beşincinin farkını verir (yani C'den A'ya). Ve uzunluğu 1/4 oranında azaltırsak, kalan 3/4 bize dördüncünün (C'den G'ye) farkını verir. O halde, bu gözlem düzeyinde matematiğin müziği "yönettiği" açıktı. Bu farklılıkların seslerinden dinleyicide hoş bir duygunun oluşması, Pisagorcuları, müzik aracılığıyla bütünlerin ve kesirlerin sadece cansız dünyayı değil, canlı dünyayı da kontrol ettiği sonucuna varmasına neden olmuştur. Pisagor'dan daha genç olan Aristoxenus, bir filozof ve en önemli müzik teorisyeniydi ve hatta müzisyen adı verildi. Yöntemi esas olarak ampirikti. Onun öğretim sistemi, Pisagor'un aksine, kulağın müzik tonlarının armonik ilişkisini algılama yeteneğine dayanmaktadır. Oktav içindeki sayısal ilişkileri araştırmaz, ancak tam ve yarım tonları belirler ve bir tonun 1/12'sine dayalı bir ölçek oluşturur. Öklid ise müzikal aralıklar için geometrik bir öneriye sahiptir. Düz çizgilere karşılık geldiğini, ancak bir farklı olduğunu, sayı olarak üretilen düz çizgilerin başında ve sonunda iki harfle tanımlanırken, müzik aralıklarının bir harfle gösterildiğini düşünür. Öklid'in Müzik Aralıklarının Geometrik Önermesi Günümüz gerçeğinde hem müzik teorisi ve müzik pratiği, sırayla matematiksel ilişkilerle formüle edilen fiziksel yasalarla yorumlanır. Akustikte (fiziğin ses ve özellikleriyle ilgilenen özel dalı) bir müzik aralığı, iki frekansın oranı olarak ifade edilir. Bazı durumlarda oran, örneğin saf beşinci (3/2), saf dördüncü (4/3), oktav (2/1) vb. gibi iyi bilinen oranlarımız gibi basit bir biçimdedir. Diğer durumlarda, en büyük ortak bölenin yokluğunda, oranın terimleri bölmede (2048/2025) olduğu gibi büyük sayılardır. Bu nedenle sonuç, iki müzik aralığını karşılaştırmanın imkansız olmasa da zor olduğudur. Müzik aralıklarının temsilindeki sadeleştirme, logaritmik ilişki yardımıyla sağlandı: müzik aralığı boyutu = k * log(f2/f1)/log2 f1, f2'nin müzikal aralığın notalarının frekansları ve f2>f1 olduğu yukarıdaki ilişkide. k değeri aynı zamanda müzikal aralık birimleri sistemini de belirleyen bir sabittir. Müzik aralıkları için karşılaştırmalar k sabitinin değerlerine bağlı olarak (oktavın karşılık gelen değer kadar parçaya bölünmesiyle ilgili), ayrıca bir müzikal aralık birimleri sistemimiz var. k sabitinin en bilinen ve karakteristik değerleri aşağıda listelenmiştir. Oran - Sayı Ritim ve Armoni, herhangi bir müzikal ifadenin iki temel bileşenidir. Tıpkı sayının ilk, temel Matematiksel yapı olması gibi, ritim de insan için ilk müzikal başarıdır. Ritim ve sayının, zamanın bölünmesinden ve zaman anlarının olaylarla 1-1 uyuşmasından aldıkları ortak bir köken vardır. Modern uyum algısı, çok güçlü bir Matematiksel "araç" olan Fourier analizinin kullanılmasıyla ortaya çıkar. Antropolog G. Murdock (1986), tüm kültürlerde ortak olan 72 element olduğunu, bunların arasında sayı sembolleri ve müzik olduğunu belirtmektedir. İnsanların müzikal alışkanlıklarıyla ilgili en eski buluntu 35.000 yaşındadır ve arkeologlara göre görünüşte ritmik sesler çıkarmak için kullanılan mamut kemikleridir. O halde ritim, insanın kullandığı ilk müzik türüdür. Şimdi Matematik alanında, insan zihninde erkenden inşa edilmeye başlanan ilk Matematiksel kavram sayı kavramıydı. Bugün bu iki kavram, Batı müziğinin yazılış biçiminde bir arada var olmaktadır. Bir örneğe bakalım: Şekil, bir müzik parçasının bir bölümünü göstermektedir. Birinci ve ikinci sembolün zaman değeri sırasıyla 1/4 ve 1/2'dir, birleştirilen sembollerin (notların) her biri varsayılan olarak 1/8 değerine sahiptir. Başlangıçtaki 4/4 kesri, her bir ölçünün, yani müzikal bir cümle içeren her aralığın, toplam değeri 4/4 olan semboller (notlar) içermesi gerektiğini belirler. Aslında 1/4+1/2+1/8+1/8=4/4. Şimdi sayı tempoyu belirler ve bir müzik parçasının müzisyenler tarafından senkronize olarak çalınmasına izin verir. Modern algılara giden yol. Şimdiye kadar tanımladığımız şey aşağıdaki şekilde temsil edilebilir: Yeni teknolojik uygulamaların yolu açılır ve müzik aletlerinin yapılma şeklini etkiler ve bu, bilim adamlarının darbeli hareketler çalışmasına yönelmesine neden olur. Bu değişim, gördüğümüz gibi, Pisagorcular seslerin sayısal ilişkileriyle ilgilenirken, şimdi seslerin üretilme biçiminin incelenmesine yönelik olan Müzikal fenomen araştırması için bir katalizördür. 17. yüzyılın ortalarındayız. Titreşimli hareketlerin incelenmesi, periyodik fenomenlerin matematiksel kavramının oluşumuna yol açar ve Trigonometri artık geleneksel olarak hesaplamalı tutumundan daha analitik bir değerlendirmeye dönüşmektedir. Bu noktada iki önemli noktaya değineceğiz: 1. Pisagor, zamanının Matematiksel araçları böyle bir şeye izin vermediği için, bir ipin ürettiği sesi, ipin gerilim ve kütle parametrelerini dahil etmeden inceledi. 2. Euler, D'Alembert ve Langrange gibi ünlü matematikçiler titreşen sicim denklemini çözmeye çalıştılar. Daniel Bernoulli, bir dizi trigonometrik fonksiyon aracılığıyla bir çözüm buldu, ancak titreşen sicim probleminin genel çözümünü ortaya çıkaran, 1822 yılında Fourier'in "Theorie analytique de la chaleur" adlı çalışmasıydı. Aşağıdaki şekil, bir flütün F notası ile trigonometrik ilişkiler kullanılarak harmonik bileşenlerinin ürettiği eğriyi göstermektedir. Bir flüt tarafından üretilen nota D. Harmoniklerin sadece 3 olduğunu fark ettik, bu yüzden flüt sesi çok basit. Çağdaş Besteciler Müziğe ilk matematiksel referans, bestecinin yapısını temel aldığı A. Berg'in Lyrical Suite'inde 1925'e kadar izlenebilir. hareketlerin boyutunu, metronom göstergelerini ve hatta bazı yerlerde akorların nota sayısını belirleyen sihirli sayı 23'teki eserinin eseridir. İkinci Dünya Savaşı'nın sona ermesinden sonra ve 20. yüzyılın ikinci yarısının başında Karlheinz Stockhausen, Ianis Xenakis, Les Paul, Edgar Varese ve diğerleri gibi besteciler bestelerinde elektronik müziği kullanmaya başladılar. Sesin elektronik üretimi ve işlenmesi için yeni yöntemler bu şekilde geliştirilmektedir. I. Xenakis'in çalışmasının özel önemi, 1954 gibi erken bir tarihte, "Metastasi" eserinin bestesi ile kendi kişisel tarzıyla dünya müzikal avangardının bir parçası olması gerçeğinde değil, aynı zamanda esas olarak hem ses olgusunun organizasyonu açısından hem de matematik ve müzik arasındaki ilişkilerin devrimci keşfi ile bir dizi yeni kavramla, şimdiye kadar verilen müzik kompozisyonu sahnesinde muazzam yeni ufuklar açtığı gerçeğinde. Müzik, güzelin, hatırlamanın ve unutmanın, hoş ve hoş olmayanın duygusu gibi niteliksel bir olgudur. Batı dünyasının tarihi, son üç yüzyılda, tüm nitel fenomenleri niceliklere dahil etme çabasıyla doğrudan bağlantılıdır, çünkü bu fenomenler bu şekilde kontrol edilebilir, nesnel olarak yorumlanabilir hale gelir. Her içsel duygu artık bir görüntü olabilir, uzaya çıkabilir. Kırmızı renk hissi, bir miktar görünür radyasyon dalga boyundan kaynaklanır ve notalar bir osiloskopta hareket eden eğriler haline gelir. Öznel olanı nesnel hale getiren sürekli bir dönüşüm gerçekleşir ve bu dönüşümde katalizör Matematik gibi görünmektedir. Kaynak: Gümülcine Müzik Okulu 3. Lisesi öğrencilerinin çalışmaları, 2005-2006 Tarafından gönderildi: Delilik, bilincin başka bir biçimidir